Majoritatea problemelor de dinamică clasică se rezolvă în baza principiului fundamental al dinamicii sub forma: ma = F. Această relaţie este în contradicţie cu al doilea postulat al teoriei relativităţii restrînse. într-adevăr, corpul de masă m, asupra căruia acţionează forţa constantă F, se mişcă uniform accelerat cu acceleraţia a = const. Viteza corpului creşte odată cu timpul şi poate atinge valori mai mari decît viteza luminii în vid c, ceea ce nu concordă cu teoria relativităţii restrînse.
în mecanica clasică este cunoscută şi o altă formă a principiului fundamental al dinamicii. Dacă se introduce noţiunea de impuls al corpului
p = mv, _^ (4.18)
se foloseşte definiţia acceleraţiei a = — si se tine cont
’ ’ ’ dt ’
de faptul că în mecanica clasică masa corpului este
constantă, se obţine legea variaţiei impulsului:
dp
dt
■ F
(4.19)
în cadrul mecanicii clasice formulările ma = F şi (4.19) sînt echivalente, dar în teoria relativităţii restrînse prima din ele nu este valabilă.
Einstein a stabilit că legea de bază a dinamicii relativiste este exprimată de relaţia (4.19), în care impulsul corpului este definit prin formula (4.18), dar cu o deosebire esenţială de cea din dinamica clasică:
masa corpului nu mai este constantă, ci dependentă de viteză. Această dependenţă are forma:
m n
”= I °. (4.20)
Vl-u /c
unde m0 este masa de repaus a corpului, masa în sistemul de referinţă în care corpul se află în repaus. Masa m este numită masă relativistă1.
Substituind (4.20) în (4.18), obţinem expresia pentru impulsul relativist:
E=T^=r> (4.21)
Vl-v Ic
iar introducînd (4.21) în (4.19), stabilim legea
fundamentală a dinamicii relativiste:
, r -+ \
d mn V -*
— — =F. (4.22)
dtU\-v1 2lc2 J
în baza acestei legi se demonstrează că viteza particulei cu masa de repaus m0 poate fi mărită pînă la valori destul de apropiate de viteza luminii în vid c, dar ea nu poate deveni egală cu c, masa m crescînd nelimitat.
La viteze mici: v « c, neglijînd termenul u2/c2, în comparaţie cu unitatea, din (4.20) obţinem m = m0, adică la astfel de viteze masa corpului este constantă şi legea relativistă (4.22) trece în expresia obişnuită a principiului fundamental al dinamicii clasice.
Einstein a stabilit, de asemenea, relaţia universală dintre energia totală a corpului E şi masa lui m, interdependenţa dintre masă şi energie:
E = mc2. (4.23)
în cazul corpului aflat în repaus, energia lui
E0 = m0c2 (4.24)
este numită energie de repaus.
Aceste relaţii denotă faptul că variaţiei masei Am îi corespunde neapărat variaţia de energie AE, determinată de relaţia:
AE = Am-c2. (4.25)
Importanţa deosebită a relaţiei respective va fi ilustrată ulterior prin aplicări în fizica nucleului atomic şi a particulelor elementare.
Din formulele (4.18) şi (4.23), prin excluderea masei, obţinem o relaţie importantă dintre impulsul relativist şi energia totală:
P=^v. (4.26)
c
Viteza corpului, energia totală şi impulsul relativist sînt mărimi relative, se modifică la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la altul.
Să demonstrăm însă existenţa unei mărimi absolute (invariante), aceeaşi în toate sistemele de referinţă inerţiale.
Ridicînd expresia (4.20) la pătrat, obţinem:
m2 (l-v2 /
După înmulţirea la c4, căpătăm:
2 4 2 2 2 2 4
mc —cmv = m0c ,
iar ţinînd seama de relaţiile (4.23) şi (4.18), obţinem:
E2-c2p2=m20c\ (4.27)
1 în prezent, în fizica teoretică se manifestă tendinţa de a nu utiliza noţiunea de masă relativistă m, ci de a numi
masă a corpului masa lui de repaus m0, una şi aceeaşi în toate sistemele de referinţă inerţiale.
77
Mărimea din partea dreaptă a egalităţii este o constantă, adică nu depinde de sistemul de referinţă ales. Deci mărimea din partea stingă a egalităţii este aceeaşi în orice sistem de referinţă inerţial şi este o mărime invariantă:
E2 — c2 p2 — inv. (4.28)
Să analizăm următorul caz: mişcarea cu viteza v-c, adică avînd viteza egală cu viteza luminii în vid.
__ E
Din (4.26) avem p = —. Substituind această valoare c
în relaţia (4.27), obţinem m2c4 = 0, de unde rezultă m0 = 0. Prin urmare cu viteză egală cu c se pot mişca doar particule avînd masa de repaus nulă.
Ulterior vom lua cunoştinţă de asemenea particule.
Să deducem expresia relativistă pentru energia cinetică. Particula aflată în repaus posedă energia de repaus E0 = m0c2, iar în mişcare - energia totală E= mc2. Aşadar energia cinetică a ei este egală cu diferenţa acestor energii:
Ec=E-E0=(m-m0)c2 =i
.(4.29)
,Vl-V2 Ic2
Să demonstrăm că la viteze mici expresia pentru energia cinetică relativistă (4.29) trece în expresia m i)2
bine cunoscută Ec = —4—. în acest scop vom folosi formule ale calculului aproximativ:
Vl± x ~ 1 ±-^
pentru x «1.
De justeţea acestei formule aproximative ne convingem ridicînd la pătrat şi neglijînd termenul de ordinul x2, care este mult mai mic decît unitatea.
O altă formulă este
1
1 + x
1 ± x
pentru x «1.
Aducînd la numitor comun şi neglijînd termenul de ordinul x2, ne convingem de justeţea formulei.
Folosind aceste formule de calcul aproximativ, obţinem:
1
1
VĂ
v2/c2
1 +
1-
2 c2
2 c2
Substituind această valoare aproximativă în formula
(4.29), avem Ec
m0v
-, ceea ce trebuia de demonstrat.
Astfel, am stabilit că la viteze v « c formulele teoriei relativităţii restrînse, care sînt mai generale, trec în formulele respective ale mecanicii clasice. Cu alte cuvinte, mecanica clasică este un caz particular al mecanicii relativiste. Acest exemplu ilustrează principiul de corespondenţă, în conformitate cu care orice teorie nouă, considerată mai profundă, mai generală, cu un domeniu mai larg de aplicabilitate decît teoria veche, trebuie să o includă pe aceasta, ca un caz limită, particular.
în final menţionăm o proprietate deosebită a sarcinii electrice: valoarea ei nu se modifică la trecerea de la un sistem de referinţă la altul, ea nu depinde de viteză. Astfel, sarcina electrică este mărime invariantă.
1. Principiul fundamental al dinamicii clasice este exprimat de două relaţii echivalente: ma=F, şi
— = F. Care dintre acestea nu corespunde posturi
latelor lui Einstein? Argumentaţi răspunsul.
2. Impulsul relativist este mai mare sau mai mic decît impulsul aceleiaşi particule, calculat conform definiţiei din mecanica clasică? în ambele cazuri viteza particulei ia una şi aceeaşi valoare.
3. Care este relaţia universală dintre masă şi energie?
4. Cum se defineşte energia cinetică în cadrul teoriei relativităţii restrînse?
5. Care este esenţa principiului de corespondenţă?
6. Ce cantitate de cărbune, care are puterea calorică egală cu 2-107 J/kg, trebuie arsă pentru a obţine o cantitate de căldură egală cu energia ce corespunde masei de repaus, egale cu 1g?
7. Ce cantitate de apă poate fi încălzită de la 20 pînă la 100°C, consumînd în acest scop cantitatea de căldură egală cu energia de repaus a corpului cu masa de 1 mg? Căldura specifică a apei este egală cu 4 200 J/(kg • K).
8. La ce valoare a vitezei unei particule energia cinetică a ei este de două ori mai mare decît energia de repaus?
a. Transformările Iul Lorentz
Rezultatele obţinute la tema precedentă permit a stabili relaţiile dintre coordonatele locului şi timpul unui eveniment (x, y, z, t) în sistemul de referinţă inerţial S, cunoscînd mărimile respective (x',yr, z\ t') ale aceluiaşi eveniment în sistemul inerţial S' (fig. 4.8). Sistemele S şi S' sînt definite: sistemul S' se mişcă faţă de sistemul inerţial S, considerat imobil, cu viteză constantă u, paralelă cu axa Ox, iar la momentul iniţial de timp originea lui O' coincide cu originea O.
Coordonatele y' şi z' sînt dimensiuni transversale, care, după cum s-a menţionat, sînt aceleaşi în ambele sisteme de referinţă, adică y = y'şiz= z'.
Segmentul 0'M2 în sistemul de referinţă S' are lungimea x'. Lungimea acestui segment în sistemul S are, potrivit formulei (4.10), valoarea egală cu x'^Jl-u2 Ic2. Astfel, după cum se vede din figura 4.8, pentru coordonata x putem scrie:
x — ut + x'\ll-u2 Ic2, (4.11)
de unde avem:
x' =
x-ut
i
'!c2
(4.12)
Această formulă permite a calcula coordonata x' în sistemul S', fiind cunoscută coordonata x şi timpul t în sistemul S.
Să obţinem relaţia inversă, adică expresia pentru coordonata x. Dacă considerăm sistemul S ’ imobil, atunci sistemul S se mişcă faţă de el cu viteza (-«). Coordonata x se obţine din formula (4.12), înlocuind mărimile x, t cu x', t', şi invers, precum şi schimbînd în opus semnul din faţa vitezei u. Obţinem:
x' + ut' ■\ll-u2 /c2
(4.13)
Fig. 4.8
75
Egalînd expresiile din partea dreaptă a formulelor (4.11) şi (4.13) pentru timpul t în sistemul imobil
S avem:
t +-
x u
■sjl-ll2 I C2
(4.14)
Totalizăm rezultatele obţinute:
x +ut
T = T> z = z, t =
t' + x'u / c2
.(4.15)
Vl-»2 Ic2 ' ' ‘ 4\-u2Ic2
Aceste relaţii au fost numite transformările lui Lorentz. Ele au fost deduse în anul 1904, înainte de publicarea lucrării lui Einstein, ca relaţii ce nu modifică ecuaţiile electrodinamicii la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la alt sistem inerţial.
Ecuaţiile fundamentale ale electrodinamicii (ecuaţiile lui Maxwell) sînt invariante faţă de transformările lui Lorentz.
Acest fapt este în conformitate cu primul postulat al lui Einstein. Din formulele (4.15) observăm că în teoria relativităţii restrînse spaţiul şi timpul nu sînt independente.
La viteze u mult mai mici decît viteza luminii în vid c, adică la u « c, termenii care conţin raportul u/c pot fi neglijaţi şi transformările lui Lorentz (4.15) trec în transformările lui Galilei (4.1). Astfel, a fost stabilită limita aplicabilităţii transformărilor lui Galilei, a conceptelor şi a legilor mecanicii clasice: viteze mult mai mici decît viteza luminii în vid.
Pe de altă parte, legea fundamentală a mecanicii clasice (newtoniene) este invariantă faţă de transformările lui Galilei (4.1), deci nu este invariantă faţă de transformările lui Lorentz. Rezultă că în domeniul relativist, cînd vitezele obiectelor devin comparabile cu viteza luminii în vid c, în mecanică sînt valabile alte legităţi, care la viteze v « c trec în legităţile mecanicii clasice.
b. Compunerea relativistă a vitezelor
Să stabilim relaţia dintre vitezele punctului material în raport cu cele două sisteme de referinţă
inerţiale, S şi S’. Vitezele se exprimă prin coordonatele şi timpul din sistemele respective. Astfel, în sistemele S şi S' proiecţiile vitezei pe axa Ox sînt
dx . , dx 1
vx = — si i> =----.
x dt ’ x dt’
Ţinînd cont de faptul că viteza u este constantă, din relaţiile (4.15) avem:
dx’ + u dt' , dt' + dx'-u/c2
dx-
dt — -
4\-u2tc- Vl-a2 /c2
Facem raportul respectiv:
dx __ dx' + u dt' dt dt' +dx' - u/c 2
(4.16)
împărţind numărătorul şi numitorul la dt' si dxr
avînd în vedere că — = v’, obţinem relaţia căutată: dt' ’
Vr =
vx+u
l + v' ■u/c2
(4.17)
Aceasta este legea relativistă a compunerii vitezelor.
în mod similar pot fi obţinute expresiile pentru
Vy Şi V,.
Să analizăm exemple concrete.
Fie în sistemul S ’ o rază de lumină se propagă în sensul pozitiv al axei O'x', adică viteza v ’ = c. Viteza de propagare a acestei raze de lumină în raport cu
sistemul S este: v, = —-—-—r- = c, ceea ce cores-
l+c-u/c2
punde principiului al doilea al lui Einstein.
Admitem că o particulă elementară se propagă faţă de sistemul S' cu viteza v'x = 0,9 c, iar viteza sistemului S’ în raport cu S este u = 0,8 c. Substituind aceste valori în legea (4.17), pentru viteza particulei în raport cu sistemul imobil S, obţinem vx = 0,988 c. înlocuind aceleaşi valori pentru v' şi u în legea clasică a compunerii vitezelor (4.3), avem v= v’+ u = 1,7 c, valoare ce depăşeşte viteza luminii în vid.
La viteze mult mai mici decît viteza luminii în vid u « c relaţiile relativiste trec în relaţiile mecanicii clasice. în acest caz din (4.17) obţinem v, = vx'+ u, adică legea clasică a compunerii vitezelor (4.3).
HBBB
1. Un eveniment s-a produs în sistemul mobil S' în punctul cu coordonatele x' = 3- 104m, y’ = 2- 104m, z' = 0 la momentul de timp t' = 7 • 10~5s. Viteza sistemului mobil faţă de sistemul fix S este egală cu 0,8 c, fiind orientată de-a lungul axei Ox. Determinaţi coordonatele evenimentului şi timpul cînd acesta s-a produs în sistemul 5.
2. Dintr-o navă cosmică, a cărei viteză este egală cu 0,6 c faţă de o staţiune radar, sînt lansaţi electroni cu viteza de 0,9 c faţă de navă, în direcţia vitezei acesteia. Să se calculeze viteza electronilor faţă de staţiunea radar după formulele: a) teoriei relativităţii restrînse; b) mecanicii clasice.
a. Relativitatea simultaneităţii
9
O noţiune importantă în teoria relativităţii este cea de eveniment. Orice fenomen fizic se produce într-o regiune a spaţiului într-un anumit interval de timp. în cazul în care regiunea spaţiului şi intervalul de timp sînt foarte mici, fenomenul este numit eveniment. Acesta constituie un model ideal, care admite că fenomenul are loc într-un punct al spaţiului şi la un moment de timp.
I Evenimentele care se produc în acelaşi timp se numesc simultane.
Să analizăm noţiunea de simultaneitate în cadrul teoriei relativităţii restrînse în baza unui experiment mental.
Se consideră două sisteme de coordonate: sistemul Oxyz, considerat imobil, şi sistemul O'x'y'z', care sînt părţi componente ale sistemelor de referinţă inerţiale S şi S'. Admitem că sistemul O'x'y'z' se mişcă faţă de sistemul Oxyz cu viteza constantă u, paralelă cu axa Ox şi că la un moment iniţial de timp, comun pentru ambele sisteme, axele acestora coincid. în timpul mişcării axa O'x! alunecă pe axa Ox, axa O'y' rămîne paralelă cu Oy
71
şi O'z' - paralelă cu Oz (fig. 4.2). Ulterior se vor avea în vedere anume asemenea sisteme de referinţă inerţiale.
Considerăm în sistemul S' o tijă AD paralelă cu axa O'x', deci şi cu Ox. în sistemul S' tija se află în repaus şi se mişcă faţă de sistemul S cu viteza constantă u orientată de-a lungul ei. La mijlocul tijei se află un becuşor de incandescenţă B, care se mişcă împreună cu ea (fig. 4.2, a).
Se presupune că la un moment becuşorul B se aprinde pentru un interval foarte scurt de timp şi emite un impuls de lumină. Conform postulatului al doilea al lui Einstein, lumina se propagă în toate direcţiile cu aceeaşi viteză c faţă de ambele sisteme de referinţă. Drept evenimente a şi d se consideră ajungerea luminii la capetele AşiD ale tijei. Evenimentele a şi d se produc în puncte diferite ale spaţiului, adică sînt separate spaţial.
y
y
u
y'
M
©
■///////////Zv/cA
r;
Ay=Ay
L.
Ay
B $
WWM/7K:
77777n7777T
x x'
0
x'
O
o
Fig. 4.3
Fig. 4.4
Să analizăm evenimentele a şi d din punctul de vedere al observatorului aflat în repaus în sistemul S'. Becuşorul se află la mijlocul tijei în repaus, iar lumina parcurge pînă la capetele ei distanţe egale. Viteza de propagare în ambele sensuri este aceeaşi, de aceea intervalele de timp în care lumina parcurge distanţele pînă la capetele tijei sînt egale. Prin urmare în sistemul de referinţă inerţial S' evenimentele a şi d se produc la acelaşi moment de timp, adică sînt simultane.
Se consideră evenimentele a şi d din punctul de vedere al observatorului, care se află în repaus în sistemul inerţial S. Faţă de acest sistem tija se deplasează cu viteza u, astfel încît capătul A se apropie de poziţia în care becuşorul a emis impulsul de lumină, iar capătul D se îndepărtează de această poziţie (fig. 4.2, b). Deoarece viteza luminii în ambele sensuri este aceeaşi, intervalul de timp în care lumina ajunge la capătul A al tijei este mâi mic decît cel în care ea ajunge la capătul D. Deci pentru observatorul din S evenimentul a se produce înaintea evenimentului d şi aceste evenimente nu sînt simultane. Exemplul respectiv demonstrează că:
evenimentele separate spaţial şi simultane într-un sistem de referinţă inerţial nu sînt simultane în alte sisteme inerţiale, adică simultaneitatea este relativă.
Concluzia privind caracterul relativ al simultaneităţii evenimentelor denotă că în teoria relativităţii timpul nu este absolut.
b. Relativitatea Intervalelor de timp
Pentru a stabili relaţia dintre intervalele de timp în diferite sisteme de referinţă inerţiale, se consideră cele două sisteme inerţiale S şi S', sistemul S fiind imobil, iar sistemul S' mişcîndu-se faţă de S cu viteza constantă u, paralelă cu axa Ox.
Admitem că în sistemul S' se află fixat un ceasornic de construcţie specială: două oglinzi cu feţele reflectoare una spre alta, paralele atît între ele, cît şi cu planul de coordonate O'x'z' (fig 4.3). în figură nu sînt reprezentate axele Oz şi O'z' perpendiculare pe planul ei. Printr-o modalitate anumită, dintr-un punct al unei feţe a unei oglinzi, este emis un impuls de lumină de scurtă durată.
Să analizăm funcţionarea ceasornicului în sistemul S', în care el se află în repaus. Impulsul de lumină, ce cade perpendicular pe oglinda superioară, se reflect;
72
spre oglinda inferioară, de la care se reflectă spre cea superioară etc. (fig. 4.4). Impulsul efectuează o mişcare periodică între oglinzi similară unui pendul, sotăm cu x' perioada de „oscilaţie” a impulsului de lumină faţă de observatorul din Sîn acest interval de timp, lumina parcurge cu viteza c distanţa Ay'
dintre oglinzi de două ori. Prin urmare x' = - ^~V , de unde rezultă că: , c
Ay'= —cx'. (4.5)
Să cercetăm funcţionarea acestui ceasornic din sunetul de vedere al observatorului aflat în sistemul S, faţă de care ceasornicul se mişcă cu viteza constantă î, paralelă cu axa Ox şi cu oglinzile. Notăm cu x intervalul de timp în care lumina se propagă de la oglinda inferioară pînă la cea superioară şi înapoi. Ţinem seama de faptul că în timpul x /2 în care lumina se propagă de la oglinda inferioară pînă la cea superioară, ceasornicul se deplasează în direcţia axei Ox la o distanţă egală cu ux /2. în figura 4.5 sînt reprezentate trei poziţii succesive ale ceasornicului corespunzătoare momentelor de timp în care lumina ajunge de fiecare dată la oglinda următoare, parcur- gind în timpul x /2 distanţa cx 12. După cum se vede cin figură, pătratul distanţei dintre oglinzi este:
le unde rezultă:
Ay = —x Vc2 — u2. (4.6)
Dimensiunile transversale (în direcţii perpendiculare pe viteza u) nu se modifică la trecerea de la :n sistem inerţial la altul, adică Ay = Ay'. Egalînd expresiile din partea dreaptă a relaţiilor (4.5) şi (4.6), >btinem: ,
’ T
Vi — u2/ c2
(4.7)
Acest rezultat arată că intervalul de timp dintre două evenimente este relativ, luînd valori diferite n sisteme inerţiale diverse. Evident, x'<x, adică interului de timp este minim în sistemul de referinţă S', aţă de care locul unde se produc evenimentele este lx, adică pentru observatorul faţă de care eveni- nentele se produc în acelaşi punct - după fiecare •erioadă x' impulsul de lumină se întoarce în punctul £ la care a plecat. Faţă de sistemul de referinţă S, onsiderat fix, aceste două evenimente se produc nsă în puncte diferite ale spaţiului.
Astfel,
intervalul de timp dintre două evenimente este minim în sistemul de referinţă faţă de care ele se produc în acelaşi punct.
Pentru observatorul în raport cu care locul unde se produc evenimentele se mişcă, intervalul de timp x dintre aceleaşi evenimente este mai mare, timpul decurge mai lent şi are loc dilatarea duratei, adică încetinirea timpului. Această încetinire este proprie tuturor proceselor care au loc în sistemul S', inclusiv celor din organismele vii.
c. Relativitatea dimensiunilor longitudinale
Mai sus s-a menţionat că dimensiunile transversale ale corpurilor, adică perpendiculare pe viteza mişcării, rămîn aceleaşi la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la altul. Pentru a determina care este situaţia în cazul dimensiunilor longitudinale, să analizăm un alt experiment mental.
E BINE SĂ MAI ŞTIŢI
Existenţa reală a încetinirii timpului a fost confirmată experimental prin observări din lumea particulelor elementare, în natură există o particulă elementară numită miuon, a cărei masă este de aproximativ 207 ori mai mare decît cea a electronului. Ea este nestabilă şi are, în sistemul de referinţă faţă de care se află în repaus, un timp mediu de viaţă de circa 2,2-10-5 s (după acest timp ea se transformă în alte particule elementare). Dacă miuonul s-arfi mişcat cu viteză egală aproximativ cu viteza luminii în vid (3-108 m/s), în acest timp ar fi parcurs o distanţă de circa 660 m. S-a constatat că miuonii apar şi în straturile superioare ale atmosferei sub acţiunea radiaţiei cosmice, care permanent bombardează Pămîntul. Miuonii parcurg pînă la suprafaţa Pămîntului distanţe egale cu grosimea atmosferei, adică distanţe de zeci de kilometri, mult mai mari decît distanţa calculată mai sus. Faptul în cauză poate fi explicat numai dacă luăm în considerare încetinirea timpului; durata medie de viaţă a miuonilor în sistemul de referinţă legat cu Pămîntul, faţă de care ei se mişcă cu viteze mari, este mult mai mare decît 2,2-10"6 s, în acest timp ei parcurgînd distanţe de zeci de kilometri.
73
Să ne imaginăm din nou cele două sisteme de referinţă inerţiale, S şi Sunde sistemul S este considerat imobil, iar sistemul S' se mişcă faţă de S cu viteza constantă u, paralelă cu axele Ox şi O'x'. Admitem că în sistemul S' este fixată o riglă rigidă BD, paralelă cu axa O'x'. La capătul B al riglei este fixat un becuşor electric, iar la capătul D - o oglindă mică, planul reflector al căreia este perpendicular pe axa O'x' şi reflectă spre becul B lumina emisă de acesta (fig 4.6).
Notăm cu l lungimea riglei măsurată de observatorul din sistemul imobil S şi cu /' lungimea riglei măsurată de observatorul din sistemul S', în raport cu care rigla este în repaus. Fie că la un anumit moment becuşorul B emite un impuls de lumină de scurtă durată. Să determinăm intervalele de timp x şi x' în care impulsul de lumină se propagă de la becuşor pînă la oglinda D şi înapoi, faţă de sistemele S şi S'. Vom ţine seama de postulatul al doilea al lui Einstein.
Faţă de observatorul din S' rigla este în repaus şi impulsul de lumină parcurge distanţa 21 în intervalul de timp: 9 v
%' =—. (4.8)
c
Să calculăm intervalul de timp respectiv x faţă de sistemul de referinţă imobil S. Notăm cu x, intervalul
a)
b)
B,
i
-crr
D
-CT,
A
9 UT2 I
Fig. 4.7
de timp în care impulsul de lumină parcurge distanţa de la bec pînă la oglindă şi cu % timpul în care impulsul parcurge distanţa de la oglindă pînă la bec. Timpul căutat x = x, + x2. în intervalul de timp x, lumina parcurge distanţa cx,, egală cu lungimea riglei / plus distanţa ux, pe care a parcurs-o rigla în acest interval de timp (în figura 4.7 sînt reprezentate poziţiile a) şi b) ale riglei la începutul şi la sfîrşitul intervalului). Avem cx, = l + mx„ deci
x, =------.
c-u
în intervalul x2 lumina parcurge distanţa cx2, egală cu lungimea riglei l minus distanţa ux2 parcursă de bec în întîmpinarea luminii (în fig. 4.7 poziţia b) a riglei corespunde începutului acestui interval, iar poziţia c) momentului de timp la care lumina ajunge la bec). Prin urmare ^
cx2 = l - ux2, deci x2 =------.
c + u
Pentru intervalul de timp x obţinem:
/ / 2 Ic
x=Tl + z1=----+----= ~5----7
c-u c + u c -u
21
c(l-M2 /C2)
. (4.9)
Intervalele de timp x şi x' satisfac relaţia (4.7), din care rezultă relaţia dintre lungimile riglei l şi /' în sistemele de referinţă inerţiale S şi S':
l = l’4\-u Ic2. (4.10)
Acest rezultat denotă că dimensiunile longitudinale sînt relative, ele modificîndu-se la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la altul.
Din relaţia (4.10) reiese că / < /', adică lungimea riglei, deci orice dimensiune longitudinală, are valoarea cea mai mare în sistemul de referinţă faţă de care ea se află în repaus. Această valoare V este numită, de obicei, lungime proprie.
Dimensiunile longitudinale ale corpurilorîn sistemele de referinţă, faţă de care ele se mişcă sînt mai mici decît dimensiunile proprii. Are loc contracţia lungimilor.
Acest rezultat, precum şi cel referitor la intervalele de timp, se află în acord complet cu postulatul întîi al lui Einstein.
Rezumînd cele expuse, conchidem că
în teoria relativităţii restrînse spaţiul şi timpul nu mai sînt absolute: intervalele de timp şi dimensiunile corpurilor se modifică la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la altul.
Relaţiile cantitative (4.7) şi (4.10) conţin expresia Vl-u21c2, ceea ce indică faptul că relativitatea
74
menţionată se manifestă la viteze u, care iau valori comparabile cu viteza luminii în vid c. Efectele care au loc la astfel de viteze sînt numite relativiste.
La viteze mici u«c din relaţiile (4.7) şi (4.10) rezultă, cu un grad înalt de precizie, că x = x' şi l - deci la viteze mici spaţiul şi timpul pot fi considerate absolute, adică sînt valabile legile mecanicii newtoniene.
Mărimile fizice, precum intervalul de timp şi lungimea sînt mărimi reale, deci expresia de sub radicalul \J\-u2/c2 nu poate fi negativă, adică viteza u poate lua doar valori care nu depăşesc viteza luminii în vid c. Rezultă că viteza c este viteza limită de transmitere a interacţiunilor în natură şi de mişcare a corpurilor.
Verificaţi-vă cunoştinţele
1. Care este semnificaţia fizică a noţiunii de eveniment?
2. în experimentul mental, reprezentat în figura 4.2, observatorul din sistemul de referinţă S constată că lumina emisă de becuşorul B ajunge mai întîi la capătul A al tijei, apoi la capătul D. Considerăm că sistemul 5' se mişcă faţă de sistemul 5 cu viteza (-u). Ce constată în acest caz observatorul din sistemul S?
3. în ce constă încetinirea timpului?
4. Care dimensiuni ale corpului sînt numite longitudinale şi care transversale? Care din aceste dimensiuni sînt aceleaşi în diferite sisteme de referinţă inerţiale?
5. Lungimea unei tije în repaus este egală cu 25 cm. Ce lungime are tija în sistemul de referinţă, faţă de care ea se mişcă cu viteza u = 0,6 c, orientată de-a lungul său?
6. în sistemul de referinţă mobil, faţă de care se află în repaus, un romb are diagonalele egale cu 15 şi 9 cm. în ce direcţie şi cu ce viteză trebuie să se mişte rombul astfel ca pentru observatorul aflat în repaus acesta să reprezinte un pătrat?
Să ne amintim______________________________________________________________________________________________
Pentru a descrie mişcarea mecanică a corpului - schimbarea poziţiei lui în raport cu alte corpuri este necesar un sistem de referinţă. Acesta reprezintă un sistem de coordonate, legat cu corpul de referinţă, în raport cu care este descrisă mişcarea. Sînt necesare, de asemenea, o riglă şi un ceasornic, pentru a măsura distanţele şi timpul.
Mişcarea corpului depinde de sistemul de referinţă ales, adică este relativă (v. Fizică, cl. X). în cinematică este posibil de utilizat orice sistem de referinţă, în dinamică însă se dă preferinţă sistemelor de
referinţă inerţiale.
> >
Mişcarea mecanică a corpurilor decurge în spaţiu şi în timp. în mecanica clasică spaţiul şi timpul sînt considerate absolute, independente unul faţă de altul şi faţă de corpurile care se află şi se mişcă în ele. Distanţa dintre două puncte (lungimea segmentului) şi intervalul de timp dintre două evenimente în sisteme de referinţă diferite sînt aceleaşi.
Un rol deosebit în mecanica clasică revine transformărilor lui Galilei şi principiului relativităţii al
lui Galilei (v. Fizică, cl. X).
Fie un sistem de referinţă inerţial S, considerat convenţional imobil, a cărui parte componentă este sistemul de coordonate Oxyz şi un al doilea sistem de referinţă S' din care face parte sistemul de coordonate O'x'y'z'. Admitem că sistemul S' se mişcă, în raport cu sistemul S, avînd o viteză constantă u paralelă cu axa Ox şi că la momentul iniţial de timp ta = t„ = 0, comun pentru ambele sisteme de referinţă, axele coordonatelor respective ale sistemelor coincid. La această mişcare axa O'x' alunecă pe axa Ox, axa O'y' rămînînd paralelă cu Oy, iar O'z' - paralelă cu Oz (fig. 4.1). Mişcarea sistemului S' este o mişcare de translaţie.
Se consideră punctul material M, care la momentul de timp t ocupă în sistemul de referinţă S poziţia determinată de vectorul de poziţie T. Vectorul de poziţie al punctului Mîn raport cu sistemul S' este f’\ iar momentul de timp - t'. Originea timpului în S şi S' este aceeaşi: t0 = t0' = 0.
Ţinînd seama de faptul că viteza u este constantă şi că la momentul t = 0 originile O' şi O coincideau, distanţa 00' - ut sau în formă vectorială OO' = ut, se obţine (fig. 4.1):
x = x' + ut',y = y', z - z', t = t', (4.1)
sau în formă vectorială
7=7' + ut', t = t'. (4.2)
69
Relaţiile (4.1) sau (4.2) sînt numite transformările lui Galilei.
Din (4.2) obţinem pentru vitezele v şi V în raport cu cele două sisteme de referinţă relaţiile următoare:
v =v'+u sau T)' = v-u. (4.3)
Aceasta reprezintă legea clasică a compunerii vitezelor, conform căreia viteza este o mărime relativă, diferită în sistemele S şi S Dacă u = const, din (4.3) rezultă:
a = a\ (4.4)
adică acceleraţiile punctului material în raport cu sistemele de referinţă S şi S' sînt egale între ele.
în baza relaţiei (4.4) se demonstrează că orice sistem de referinţă aflat în mişcare de translaţie cu viteză constantă în raport cu un sistem inerţial este, de asemenea, un sistem de referinţă inerţial.
în conformitate cu relaţia (4.4), acceleraţia nu se modifică la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la altul.
Mărimile fizice sau relaţiile dintre ele care nu se
j
modifică Ia trecerea de Ia un sistem de referinţă
>
inerţial la altul sînt numite invariante. Trecerea se efectuează conform transformărilor lui Galilei, de aceea se concretizează că aceste mărimi sînt invariante fată de transformările lui Galilei.
j
Ţinînd seama că masa corpului m este o mărime constantă, aceeaşi în S şi S', rezultă că:
principiile mecanicii clasice (newtoniene) sînt invariante faţă de transformările lui Galilei, adică se formulează la fel în toate sistemele de referinţă inerţiale. Cu alte cuvinte, mişcarea rectilinie uniformă a sistemului inerţial nu influenţează fenomenele mecanice care se produc în el.
Aceste afirmaţii prezintă formulări echivalente ale principiului relativităţii al lui Galilei - principiul relativităţii în mecanica clasică.
70
Conform acestui principiu, prin experimente mecanice nu se poate stabili dacă sistemul inerţial se mişcă, cu atît mai mult, nu poate fi determinată viteza acestuia.
Să examinăm problema relativităţii în electro- dinamică. Un rezultat important în domeniul electromagnetismului îl constituie teoria cîmpului electromagnetic - electrodinamica - elaborată de către Maxwell în anii 1860-1865. La temelia ei se află un sistem de patru ecuaţii, cunoscute în prezent sub denumirea de ecuaţiile lui Maxwell.
Pe fizicieni a început să-i preocupe problema valabilităţii ecuaţiilor electrodinamicii lui Maxwell pentru mediile aflate în mişcare, adică în sisteme inerţiale de referinţă mobile. S-a constatat că ecuaţiile lui Maxwell nu sînt invariante fată de transfor- mările lui Galilei, adică îşi modifică forma la trecerea de la sistemul de referinţă inerţial, considerat imobil, la cel care se mişcă cu viteză constantă faţă de primul.
Astfel, în fizică s-a creat o situaţie de incertitudine: pe de o parte, legile mecanicii sînt aceleaşi în toate sistemele de referinţă inerţiale, iar pe de altă parte, legităţile electrodinamicii sînt diferite în diverse sisteme inerţiale.
Această situaţie controversată a fost soluţionată în 1905 de către A. Einstein în baza a două postulate.
Postulatul întîi vizează extinderea principiului relativităţii al lui Galilei asupra tuturor fenomenelor fizice, inclusiv asupra celor electromagnetice:
legile fizicii se formulează la fel în toate sistemele de referinţă inerţiale.
Acesta este principiul relativităţii al lui Einstein.
Conform lui, prin niciun experiment fizic realizat în sistemul inerţial nu poate fi stabilit dacă el se mişcă şi viteza acestei mişcări nu poate fi determinată.
Postulatul al doilea se referă la viteza luminii în vid:
viteza luminii în vid are aceeaşi valoare în toate sistemele de referinţă inerţiale şi nu depinde de viteza sursei de lumină sau a observatorului.
Acest postulat mai este numit postulatul invariantei vitezei luminii si relevă rolul deosebit al vitezei luminii în vid c, care este limita superioară a vitezei corpurilor, a semnalelor şi a interacţiunilor în natură.
Un argument în favoarea postulatului al doilea au servit rezultatele experimentelor realizate în 1881 de către fizicianul şi astronomul american Albert
Abraham Michelson (1852-1931), apoi în 1887, intr-o variantă perfecţionată, împreună cu Edward Williams Morley (1838-1923). în aceste experimente s-a demonstrat convingător că propagarea luminii nu este influenţată de mişcarea Pământului, viteza luminii fiind aceeaşi în toate direcţiile faţă de viteza Pămîntului.
Postulatul al doilea nu este în concordanţă cu legea compunerii vitezelor din mecanica newtoniană - viteza sursei sau a observatorului nu se adună şi nu se scade din viteza luminii în vid. Prin urmare transformările lui Galilei nu corespund postulatului al doilea, necesitînd a fi înlocuite cu altele. Deoarece ele au fost stabilite în baza concepţiei de spaţiu şi timp absolut, aceste concepte trebuie revizuite.
Teoria elaborată de Einstein, conform acestor două postulate, a fost numită teoria relativităţii restrînse şi se aplică numai la sisteme de referinţă inerţiale. Viteza luminii în vid c este numită constantă relativistă. Teoria care studiază fenomenele fizice în sistemele de referinţă neinerţiale, precum şi fenomenele gravitaţionale, se numeşte teoria relativităţii generale (Einstein, 1916).
A explicat efectul fotoelectricîn baza teoriei cuantice, susţinând existenţa unui purtător material al cuantei de energie - un corpuscul denumit ulterior „foton". Este fondatorul teoriei cinetico-moleculare a mişcării browniene.în lucrarea Asupra electrodinamicii corpurilor în mişcare a expus teoria relativităţii restrînse.
A formulat teoria căldurilor specifice ale solidelor (1907) şi teoria relativităţii generale (1916), care extinde teoria relativităţii pentru sistemele de referinţă neinerţiale. A enunţat legile proceselor de emisie şi de absorbţie a luminii, a prezis existenţa emisiei stimulate a luminii (1917), în baza ideilor sale ulterior fiind construit laserul.
Premiul Nobel pentru explicarea legilor efectului fotoelec- tric (1921).
Verificaţi-vă cunoştinţele
1. Cum veţi stabili dacă un sistem de referinţă este inerţial sau nu?
2. Ce mărimi fizice invariante faţă de transformările lui Galilei cunoaşteţi?
3 în ce constă echivalenţa tuturor sistemelor de referinţă inerţiale conform principiului relativităţii al lui
Galilei? Dar conform principiului relativităţii al lui Einstein?
4. Concordă postulatul despre invarianta vitezei luminii în vid cu legea compunerii vitezelor din mecanica clasică? Argumentaţi răspunsul.
La interacţiunea undelor de lumină cu substanţa, sarcinile electrice din atomii şi moleculele acesteia vor efectua sub acţiunea cîmpului electric variabil E al undei electromagnetice oscilaţii forţate cu aceeaşi frecvenţă ca şi vectorul E. Din această cauză particulele încărcate ale substanţei devin centre de unde sferice secundare care se propagă în direcţii arbitrare. Astfel, o parte din energia undei de lumină este absorbită de către substanţă, iar mai apoi emisă de către particulele ei, fiind împrăştiată în toate direcţiile posibile.
împrăştierea luminii se mai produce şi în cazul reflexiei şi refracţiei luminii pe marginile particulelor de dimensiuni foarte mici (comparabile cu lungimea de undă) din mediul prin care ea se propagă. Dacă însă mediul transparent este omogen, fenomenul de împrăştiere a luminii practic nu se observă. Aceasta se explică prin faptul că undele secundare coerente emise de particulele încărcate ale mediului interferă, iar ca rezultat se neutralizează reciproc în toate direcţiile, în afară de direcţia de propagare a luminii transmise.
Efectele împrăştierii luminii pot fi observate cu ajutorul unei experienţe simple. într-o cuvă de sticlă de formă alungită plină cu apă introducem cîteva picături de lapte şi direcţionăm prin acest mediu un flux îngust de lumină. Privind lateral, vom observa lumina împrăştiată de o culoare cu nuanţă mai albăstrie decît a sursei de lumină, iar lumina care traversează cuva de-a lungul ei va avea o culoare de nuanţă roşiatică.
Verifîcaţi-vă cunoştinţele
1. Care este esenţa fenomenului de împrăştiere a luminii?
2. De ce în mediile transparente omogene nu se observă împrăştierea luminii?
Aceasta se explică prin faptul că undele de lumină cu diferite lungimi de undă sînt împrăştiate în mod diferit. După cum a demonstrat fizicianul şi matematicianul englez John William Strutt (lordul Rayleigh) (1842-1919), intensitatea luminii împrăştiate este invers proporţională cu lungimea de undă la puterea a patra
I = (3.32)
Din (3.32) rezultă că undele de lumină din spectrul vizibil cu lungimi de undă mai mici sînt împrăştiate mai puternic decît cele cu lungimi de undă mai mari.
împrăştierea Rayleigh are loc atunci cînd lumina trece prin medii solide sau lichide transparente, însă cel mai bine se observă în gaze. Datorită împrăştierii Rayleigh a luminii solare pe moleculele atmosferei terestre, cerul este văzut albastru. într-adevăr, razele din partea roşie a spectrului luminii solare, fiind împrăştiate mai puţin, ajung la Pămînt şi sînt absorbite, iar cele din partea albastră se acumulează în atmosferă datorită împrăştierii puternice, dînd cerului culoarea albastră.
împrăştierea Rayleigh explică şi culoarea discului solar. La amiază, lumina albă care vine de la Soare, datorită împrăştierii, pierde în atmosfera terestră o parte din razele ei violete şi albastre, iar discul solar se vede de culoare galbenă-aurie. La răsăritul şi apusul Soarelui, cînd drumul parcurs de razele solare prin atmosferă este mai mare, împrăştierea razelor albastre devine şi mai puternică, astfel încît discul solar pare de culoare roşie-portocalie.
3. Cum depinde intensitatea luminii împrăştiate de lungimea ei de undă?
4. Cum se explică culoarea albastră a cerului? Dar a discului solar în diferite perioade ale zilei?
POLARIZAREA LUMINII
Fenomenele de interferenţă şi de difracţie demonstrează foarte clar caracterul ondulatoriu al luminii. Ele au fost explicate fără a utiliza cunoştinţele despre caracterul undelor: transversale sau longitudinale. Există însă situaţii cînd procesele de propagare a luminii pot fi justificate doar dacă lumina este considerată o undă transversală.
Pentru a înţelege fenomenul de polarizare a luminii, vom analiza mai întîi starea de polarizare a undelor elastice.
IDacă direcţia de oscilaţie a particulelor mediului variază în timp după o anumită lege, atunci unda se numeşte polarizată.
a. Modelul mecanic al stării de polarizare. Planul de polarizare
Se presupune că o coardă elastică este impusă să oscileze într-un plan numit plan de oscilaţie, adică prin coardă se propagă o undă transversală. Întrucît oscilaţiile corzii se produc tot timpul în unul şi acelaşi plan (planul xOy în figura 3.26), legea de variaţie a direcţiei elongaţiei este liniară (dreapta AB), iar unda este numită plan-polarizată sau liniar-polarizată.
I Planul format de direcţia de oscilaţie şi cea de propagare a undei este numit plan de polarizare.
Starea de polarizare a undei transversale depinde de natura obstacolelor întîlnite în timpul propagării. Dacă în calea undei este aşezată o fantă, planul căreia coincide cu cel de polarizare, atunci unda îşi păstrează starea de polarizare (fig. 3.27, a). Cînd planul fantei se roteşte, această stare se modifică. Din figură se observă că după trecerea prin fantă, unda se propagă în acelaşi plan de polarizare, însă cu cît unghiul cp este mai mare, cu atît amplitudinea ei este mai mică (fig. 3.27, b). Dacă planul fantei este perpendicular pe cel de polarizare (cp = 90°), fanta reţine complet unda incidenţă pe ea (fig. 3.27, c).
Situaţia este total diferită cînd pe fantă cade o undă longitudinală. Întrucît oscilaţiile se produc de-a lungul direcţiei de propagare, această undă traversează fanta întotdeauna, indiferent de orientarea acesteia. Rezultă că
starea de polarizare este proprie doar undelor transversale.
B
Fig. 3.26
a) b) c)
Fig. 3.28
b. Starea de polarizare a luminii. Transversalitatea undelor de lumină
Lumina emisă de un singur atom reprezintă o undă electromagnetică caracterizată de oscilaţiile a doi vectori: ale vectorului intensităţii cîmpului electric E şi ale vectorului inducţiei cîmpului magnetic B reciproc perpendiculari. Vectorii E şi S sînt perpendiculari pe direcţia de propagare a undei, numită rază de lumină. Este evident că în acest caz lumina este plan-polarizată, deoarece oscilaţiile vectorilor E şi B se produc în aceleaşi plane, reciproc perpendiculare.
Cercetările experimentale şi cele teoretice demonstrează că acţiunea luminii asupra substanţei este determinată în mod principal de vibraţiile vectorului E, adică de componenta electrică a undei electromagnetice. Anume această componentă produce senzaţia de lumină asupra ochiului uman şi acţionează asupra peliculei fotografice. Vectorul intensităţii cîmpului electric E deseori mai este numit şi vector luminos, iar raza de lumină polarizată este reprezentată schematic printr-o curbă descrisă de vîrful vectorului E pe planul de oscilaţie. Starea de polarizare a luminii emise de un singur atom este prezentată în figura 3.28, a, în care vectorii corespund
65
valorilor de amplitudine ale intensităţii cîmpului electric E, iar raza de lumină este perpendiculară pe planul figurii.
Sursele reale de lumină sînt compuse dintr-un număr foarte mare de atomi care emit unde luminoase, în care vectorul E se poate afla în orice planuri, adică vibrează haotic. în consecinţă, oricărei raze de lumină provenite de la sursele reale (naturale) îi corespunde o mulţime de planuri de oscilaţie orientate cu aceeaşi probabilitate în toate direcţiile (fig. 3.28, b). Astfel de lumină se numeşte lumină naturală.
Intensitatea radiaţiei fiecărui atom al sursei de lumină este aproximativ aceeaşi, de aceea în cazul luminii naturale valorile de amplitudine ale vectorului E în toate planurile de oscilaţie sînt practic egale. Uneori însă raza de lumină în anumite planuri de oscilaţie este caracterizată de valori maxime ale vectorului luminos. în asemenea cazuri se spune că lumina este parţial polarizată, tn figura 3.28, c este prezentată o rază de lumină parţial polarizată, în care oscilaţiile vectorului luminos au loc preponderent în planul vertical.
Pentru descrierea cantitativă a stării de polarizare a luminii a fost introdusă noţiunea de grad de polarizare. Dacă 7ma>x şi 7min sînt valorile maximă şi minimă ale intensităţii luminii ce corespund proiecţiilor vectorului luminos E pe două direcţii reciproc perpendiculare, atunci gradul de polarizare al luminii este: r _ r
p _ —max----miţL_ (3.30)
Anax -Anin
Gradul de polarizare este o mărime adimensională şi prezintă valori cuprinse între 0 şi 1. în cazul luminii total polarizate Imin = 0 şi din (3.30) rezultă P = 1, iar pentru lumina naturală intensitatea căreia în toate direcţiile este aceeaşi, adică Imin= 7max, avem P - 0.
Fig. 3.29
Sînt cunoscute şi alte stări de polarizare a De exemplu, dacă vectorul luminos E desert a plan perpendicular pe direcţia de propaga:; care se deplasează în timp odată cu unda ~ atunci lumina este polarizată eliptic. Ev. ce anumite condiţii elipsa descrisă de vîrful vec.. - poate degenera într-un cerc. în aceste cazuri se că lumina este circular polarizată.
Studierea stării de polarizare a luminii a o posibilă abia la începutul secolului al XlX-lea ir cercetărilor efectuate independent de către fir Th. Young şi A. J. Fresnel care au înaintat ideea dea transversalitatea undelor luminoase. Existei undelor electromagnetice şi transversalitatea i fost demonstrată teoretic de Maxwell cu jumi: de secol mai tîrziu, cînd deja era confirmat exr»; mental faptul că undele de lumină sînt transve: Din această cauză transversalitatea undelor elen magnetice a fost pentru Maxwell cel mai imp argument în confirmarea justeţei teoriei electr netice a luminii.
Dispozitivele care permit transformarea lu~ naturale în lumină polarizată sînt numite pol zoare. în cazul polarizării liniare ele permit să tre? doar acele vibraţii ale vectorului luminos, ca: produc într-o singură direcţie 00' (fig. 3.30). A polarizorului P este similară cu cea a fante: figura 3.27. Ochiul uman nu poate deosebi 1 polarizată de cea naturală, observă doar o mic: a intensităţii luminii emergente prin polarizor comparaţie cu intensitatea luminii naturale I. dentă pe polarizor, Ip <
Pentru a stabili starea de polarizare a luc se foloseşte un al doilea dispozitiv de polariza: numit analizor, care facilitează trecerea oscii:: vectorului luminos numai după o anumită din BB' sub un unghi cp cu direcţia 00'. Se const la rotirea analizorului cu 360° în jurul razei in tatea luminii emergente prin analizor I, va obţinînd de cîte două ori valori maxime 7max şi minime 7min, ceea ce permite calcularea grada polarizare P (3.30).
Ca dispozitive de polarizare sînt folosite dfia cristale naturale anizotrope, cum ar fi turm spatul-de-Islanda, cuarţul ş.a. Anizotropialor : nifestă prin absorbţia puternică a luminii cara rizată de oscilaţiile vectorului luminos de o ar. direcţie, lăsînd să treacă aproape fără abs<
66
lumina caracterizată de vibraţiile perpendiculare pe această direcţie. Există însă şi polarizoare artificiale. Ele reprezintă nişte pelicule acoperite cu un strat de molecule lungi de structură complicată, aşezate compact cu axele paralele. Astfel se obţine o reţea de fante cu perioada extrem de mică care permite trecerea luminii caracterizată numai de o anumită direcţie de vibraţie a vectorului luminos. Aceste pelicule sînt numite polaroizi şi au fost obţinute pentru prima dată în anul 1928 de către savantul şi inventatorul american Edwin Land (1909-1991), care ulterior a elaborat bazele fotografiei momentane.
c. Polarizarea luminii prin reflexie
Starea de polarizare a luminii poate fi realizată şi prin alte metode. Una dintre acestea este reflexia luminii pe un mediu dielectric. Dacă lumina naturală de la Soare este incidenţă sub un unghi i pe suprafaţa orizontală a şoselei sau a unui lac, atunci, în funcţie de valoarea unghiului de incidenţă pe anumite regiuni ale suprafeţei, vom observa licăriri de lumină. Aceste licăriri se datorează faptului că raza reflectată este polarizată. într-adevăr, dacă privim printr-un polaroid cu axă verticală, atunci licăririle dispar. Rezultă că lumina reflectată este parţial polarizată preponderent într-un plan paralel cu suprafaţa reflec- tătoare.
Gradul de polarizare a razei reflectate depinde de unghiul de incidenţă. S-a constatat că la incidenţa normală a luminii naturale pe o suprafaţă dielectrică (i - 0) raza reflectată nu este polarizată, dar pentru unghiuri de incidenţă cuprinse în intervalul 0 < / < n/2 atît raza reflectată, cît şi cea refractată sînt parţial polarizate în planuri reciproc perpendiculare jig. 3.31). La unghiul de incidenţă iB, pentru care raza reflectată este perpendiculară pe cea refractată, mina reflectată este total polarizată, iar cea
Fig. 3.30 Fig.3.31
refractată - maxim polarizată, dar nu total. Din clasa a IX-a cunoaştem legea refracţiei luminii
sin/ _ n2
i 5
sin r «j
unde n, este indicele absolut de refracţie al mediului în care se propagă raza incidenţă, iar n2 - al mediului de la care se produce reflexia.
După cum se observă din figura 3.31, în acest caz r + iB = 90°. Prin urmare
sin iB _ n2
sau
sin (90° - iB ) n{
tg/j = —• (3.31, a)
«i
Aşadar, unghiul de polarizare totală iB se exprimă prin indicii absoluţi de refracţie ai mediilor de pe ambele părţi ale suprafeţei de separare. Raportul n2ln] = n2l este indicele relativ de refracţie al mediului al doilea în raport cu primul. Astfel
tgiB = n2l. (3.31 ,b)
Unghiul de polarizare totală iB mai este numit unghiul Brewster, în cinstea fizicianului scoţian David Brewster (1781-1868), iar relaţia (3.31) exprimă legea lui Brewster stabilită experimental în anul 1815:
I Unghiul de polarizare totală este determinat de indicele relativ de refracţie al mediului al doilea în raport cu primul.
Problemă rezolvată*
Sub ce unghi faţă de orizont trebuie să se afle Soarele centru ca razele de lumină reflectate pe suprafaţa unui să fie total polarizate? Indicele de refracţie al apei este
3.
Rezolvare:
Razele de lumină reflectate pe suprafaţa lacului vor fi total polarizate atunci cînd cele solare vor fi incidente sub unghiul Brewster care se determină uşor din relaţia (3.31, b):
iB = arctg n.
Întrucît unghiul de reflexie este egal cu cel de incidenţă iB, pentru unghiul a pe care-l fac razele solare cu orizontul obţinem:
a = 90° -iB =90° - arctg» «36,93° «36°56'.
67
Verifîcaţi-vă cunoştinţele
s
1. Care unde se numesc polarizate?
2. Ce reprezintă planul de polarizare?
3. Explicaţi modelul mecanic al stării de polarizare a undelor. De ce starea de polarizare este proprie doar undelor transversale?
4. Definiţi noţiunea de grad de polarizare. Ce valori poate lua această mărime?
5. Cum se explică prin fenomenul de polarizare trans- versalitatea undelor de lumină?
6. Ce reprezintă polarizorul şi analizorul? Este vreo deosebire constructivă între acestea?
7. Formulaţi legea iui Brewster. Ce condiţie satisfac unghiul Brewster şi cel de refracţie?
8. Determinaţi unghiul de polarizare totală la reflexia luminii pe o placă de sticlă cu indicele de refracţie n2= 1,515, dacă raza incidenţă se propagă prin apă. Indicele de refracţie al apei este n,=1,333.
La propagarea luminii sub formă de unde electromagnetice, în anumite condiţii, la suprapunerea lor se produc fenomene specifice mişcării ondulatorii, asemenea interferenţei şi difracţiei undelor elastice, studiate în clasa a X-a. Să analizăm fenomenul de interferenţă a luminii, amintindu-ne, mai întîi, condiţiile în care se produce acesta în cazul undelor mecanice (Fizică, cl. a X-a).
Şi Să ne amintim____________________________________
I Undele caracterizate de aceeaşi frecvenţă şi diferenţa de fază constantă în timp sînt numite unde coerente.
5. Care sînt intervalele lungimilor de undă şi ale frecvenţelor în domeniile vizibil, infraroşu şi ultraviolet?
6. Ce experimente au confirmat teoria electromagnetică a lui Maxwell?
La suprapunerea undelor coerente, energia lor se redistribuie, rezultînd formarea unor maxime şi minime ale amplitudinii undelor. Dacă diferenţa de drum Ax parcursă de cele două unde pînă la suprapunerea lor este un număr par de semilungimi de undă A,:
Ax = ±2m-—, (3.10)
2
unde m = 0, 1, 2,..., atunci în punctul de suprapunere undele sînt în fază şi se obţine maxim de interferenţă, iar dacă
Ax = +(2m + l)-—, (3.11)
undele sînt în opoziţie de fază şi avem minim de interferenţă. Numărul întreg m este ordinul maximului sau minimului de interferenţă.
53
Datorită frecvenţelor joase ale undelor mecanice, întotdeauna se pot construi două surse identice de unde, condiţia de coerenţă a lor fiind realizată relativ simplu. Satisfacerea aceleiaşi condiţii în cazul undelor de lumină este mult mai complicată.
a. Coerenţa undelor luminoase. Condiţiile de observare a interferenţei
9 B
luminii
Pentru a înţelege cum se obţin undele coerente de lumină, vom analiza procesul de emisie a ei. Sursele de lumină, chiar şi punctiforme, sînt constituite dintr-un număr foarte mare de atomi. Unii din ei, primind energie din exterior, au surplus de energie. Starea respectivă a atomului este numită excitată şi este nestabilă. La un moment el emite o undă specifică, numită tren de unde. Procesul de emisie a luminii, în urma căruia atomul se transferă în starea cu energie minimă, numită stare fundamentală, durează aproximativ IO-8 s. Ulterior alt atom excitat emite alt tren de unde, dar cu altă fază ş.a.m.d. Atomii din starea fundamentală, primind energie, de exemplu de la o sursă de curent electric, se excită din nou şi reiau procesul de emisie a undelor luminoase, într-un punct oarecare al mediului fazele undelor luminoase provenite de la diferiţi atomi sînt diferite. Aceeaşi proprietate vor poseda şi undele sosite în punctul dat de la altă sursă. Atunci diferenţa de fază a undelor se va modifica continuu, deci undele nu vor fi coerente. Astfel se explică imposibilitatea obţinerii fenomenului de interferenţă de la două surse de lumină, fie chiar şi identice.
Din cele expuse rezultă că undele de lumină pot fi coerente numai dacă provin de la aceiaşi atomi ce aparţin unei singure surse.
Pentru a realiza această condiţie, trenurile de unde, provenite de la un grup de atomi, se divizează în două fascicule, care, parcurgînd drumuri diferite pînă la un punct oarecare, se suprapun, fiind caracterizate de o anumită diferenţă de fază. în alt moment, cînd în punctul de suprapunere ajung fasciculele obţinute prin divizarea altor trenuri de unde, fazele lor vor fi altele, însă diferenţa de fază nu se modifică, deoarece ea depinde de valoarea diferenţei de drum, care rămîne aceeaşi. Astfel, se poate menţine o diferenţă
de fază constantă în timp. Pentru aceasta însă trebuie realizată încă o condiţie: timpul, numit timp de coerenţă xc, în care trenul de unde parcurge diferenţa de drum, trebuie să fie mai mic decît durata de emisie a acestuia, adică xc < IO-8 s. în caz contrar, în punctul cercetat se vor suprapune unde ce aparţin diferitor trenuri de unde şi diferenţa de fază nu va mai fi constantă în timp. Deşi timpul de coerenţă este foarte mic, această condiţie se realizează datorită vitezei foarte mari de propagare a luminii şi diferenţelor de drum, de regulă mici. în timpul de coerenţă xc trenul de unde se propagă la o distanţă lc «c-xc «3-IO8 -KT8 »3(m), numită distanţă de coerenţă. Rezultă că interferenţa undelor luminoase se realizează atunci cînd diferenţa lor de drum este mai mică decît distanţa de coerenţă.
Condiţiile (3.10) şi (3.11) de formare a maximelor şi, respectiv, a minimelor de interferenţă a undelor mecanice sînt valabile şi în cazul undelor de lumină. Viteza luminii într-un mediu este de n ori mai mică decît în vid (n este indicele de refracţie al mediului). Ca rezultat în timpul în care lumina parcurge într-un mediu distanţa x, în vid ea parcurge o distanţă de n ori mai mare.
Produsul dintre distanţa x parcursă de unda luminoasă printr-un mediu transparent (drumul geometric) şi indicele de refracţie n al acestuia se numeşte drum optic:
L = nx.
Se observă că în vid, unde n = 1, drumul optic coincide cu cel geometric. în medii transparente, condiţiile de formare a maximelor şi minimelor de interferenţă a undelor de lumină sînt date tot de relaţiile (3.10) şi (3.11), însă diferenţa de drum Ax se înlocuieşte cu diferenţa de drum optic A. Aşadar, condiţia de formare a maximelor de interferenţă a luminii este:
A = ±2m ■ — > (3.12)
2
iar a minimelor:
A = ±(2m + l) (3.13)
unde numărul întreg m este numit ordin al maximelor sau minimelor de interferenţă, X este lungimea de undă a luminii utilizate, iar diferenţa de drum optic se calculează din relaţia:
A = L2 - Lx =n2x2-nlxl. (3.14)
54
Despre două medii cu indicii de refracţie n2 şi n2 > n2 se spune că primul este mai puţin dens din punct de vedere optic, iar al doilea - mai dens din punct de vedere optic.
Fenomenul de interferenţă a luminii a fost observat încă în timpul lui Newton, însă explicaţia corectă a acestuia a dat-o Thomas Young (1773-1829) în anul 1802. înţelegerea mecanismului de formare a undelor coerente a permis construirea mai multor dispozitive interferenţiale, principalele dintre care vor fi descrise în continuare.
b.* Dispozitivul lui Young
Schema instalaţiei, folosită de Young pentru obţinerea undelor de lumină coerente şi a interferenţei lor, este reprezentată în figura 3.11, a. Un flux puternic de lumină, provenit de la sursa S„ nimereşte pe un filtru F, care permite trecerea luminii de o anumită frecvenţă, adică monocromatică, şi ajunge la ecranul Eu prevăzut cu o fantă de dimensiuni mici S. De la sursa S se propagă unde sferice, frontul de undă al cărora ajunge la ecranul E2, prevăzut cu două fante Sj şi S2 de dimensiuni cit mai mici, dispuse la distanţă mică una faţă de alta şi simetric faţă de fanta S. Fantele Sj şi S2 sînt şi ele surse de unde secundare, dar de aceleaşi frecvenţă şi fază, adică coerente. Undele coerente de la sursele S, şi S2 se propagă mai departe şi în punctele de suprapunere se vor obţine maxime sau minime de interferenţă, care se pot vedea pe ecranul E3 amplasat paralel cu ecranul E2. Cîmpul de interferenţă reprezintă un şir de franj e alternativ luminoase şi întunecate, cele luminoase avînd aceeaşi culoare ca lumina monocromatică utilizată (fig; 3.12). Cîmpul de interferenţă se remarcă în orice regiune a spaţiului de după ecranul E2 unde se suprapun undele coerente. Din această cauză se spune că are loc interferenţa cu franje nelocalizate în spaţiu.
Pentru determinarea poziţiei franjelor luminoase şi întunecate de pe ecranul E3, vom analiza o schemă simplificată a instalaţiei lui Young, prezentată în figura 3.11, b. La distanţa D»d se plasează un ecran, mijlocul căruia O se află pe aceeaşi dreaptă cu mijlocul O' al distanţei ă dintre sursele de lumină. Astfel, tabloul de interferenţă se va obţine simetric de o parte şi de alta a punctului O, care coincide cu originea axei Oy de-a lungul ecranului paralel cu
planul surselor. în figura 3.11, b este reprezentată şi dependenţa intensităţii luminii (energia luminoasă) I pe ecran de distanţa y de la centrul lui.
Rezultatul interferenţei în punctul P(P') depinde de diferenţa de drum A = L2-L{ = S2M (fig. 3.11, b). Din ASlMS2 şi A O'OP avem, respectiv, şina -A/d şi tga = ym/D, unde ym este coordonata punctului P. Întrucît D»d, unghiul a este mic şi şina «tga.
Rezultă că — = —, de unde:
d D , n
A = ^l_ sau ym=-A. (3.15)
D d
Dacă în punctul P(P') se realizează condiţia unui maxim de interferenţă, atunci substituind (3.12) în (3.15), se obţine valoarea coordonatei lui:
y
J m
: + -
mDX
(3.16)
iar dacă se satisface condiţia unui minim, atunci din (3.13) şi (3.15) avem:
D'X
y?=±(2m + iy£. (3.17)
Fig. 3.7 7
55
Din (3.16) şi (3.17) se observă că pentru m = 0
§e foram un mm în punctul numit maxim
central, s.i două minime, dispuse simetric de o parte şi de alta de acesta. Pentru m= 1 se formează două maxime, numite maxime de ordinul 1 şi două minime simetrice faţă de acelaşi punct, pentru m = 2 - două maxime de ordinul 2 ş.a.m.d. Aceste maxime şi minime reprezintă franjele de interferenţă, respectiv, luminoase si întunecate (fig- 3.12).
Mărimea / egală cu distanţa dintre două franje luminoase sau întunecate consecutive se numeşte interfranjă:
/TA
(3.18)
i - vmax - v"
1 ym+1 ym
DX
~d'
Conform acestei relaţii, interfranja nu depinde de ordinul maximelor şi pentru o anumită lungime de undă dată ea este cu atît mai mare, cu cît distanţa d dintre sursele S, şi S2 este mai mică şi distanţa D mai mare. Faptul că i nu depinde de m înseamnă că franjele sînt echidistante (v.fig- 3.12).
Cunoaşterea valorii interfranjei permite determinarea lungimii de undă a luminii. Din (3.18) avem:
X=-i- (3.19)
D
Cu ajutorul dispozitivului lui Young se poate studia şi interferenţa luminii albe, adică compuse (pentru aceasta se înlătură filtrul de lumină F (fig. 3.11, a)). Deoarece coordonata maximelor (3.16) este direct proporţională cu lungimea de undă, maximele ce corespund diferitor radiaţii mono- cromatice nu se vor suprapune, ci vor fi dispuse unul lîngă altul în ordinea crescătoare a lungimilor de undă. Franjele luminoase din tabloul de interferenţă, cu excepţia celei centrale, vor apărea colorate, sub formă de spectre de interferenţă. Franj a centrală se obţine pentru m = 0, într-un loc în care se compun toate radiaţiile componente ale luminii albe şi, ca rezultat, se obţine, de asemenea, lumină albă. Culorile spectrului de interferenţă sînt dispuse în ordinea crescătoare a lungimilor de undă, de la violet spre roşu. La creşterea ordinului maximelor culorile corespunzătoare diferitor lungimi de undă se suprapun.
c.* Lama cu feţe plan-paralele
Fenomenul de interferenţă a luminii apare şi
ta reflexia si refracţia parţială a razelor de lumină incidente pe straturi subţiri transparente. în urma reflexiei, pe ambele suprafeţe ale stratului, se formează unde provenite de la aceeaşi sursă, adică coerente, care interferează. Asemenea situaţii se realizează atît în straturi de grosime constantă, cît şi variabilă.
Se consideră o lamă transparentă subţire cu suprafeţe plan-paralele de grosime d şi indice de refracţie n (fig. 3.13, a). O undă plană de lumină monocromatică, reprezentată prin raza 1 incidenţă pe faţa superioară sub un unghi z, parţial se reflectă (raza V) şi se refractă. Raza refractată ajunge la faţa inferioară, unde iarăşi parţial se refractă (raza 1") şi se reflectă ş.a.m.d. în urma reflexiilor şi refracţiilor repetate pe cele două suprafeţe ale lamei se obţin razele paralele V, 2', ce se propagă de la faţa superioară, şi 1", 2" - de la cea inferioară. Alte raze,' obţinute în urma reflexiilor şi refracţiilor repetate, vor avea o intensitate mult mai mică din cauza pierderilor şi pot fi neglijate. Chiar şi razele 1", 2" sînt de intensitate mult mai redusă decît V, 2' şi se observă numai pentru grosimi foarte mici ale lamei. Razele menţionate sînt coerente, deoarece provin de la aceeaşi sursă, parcurg distanţe diferite şi posedă diferenţă de drum optic. Cu alte cuvinte, ele întrunesc condiţiile necesare pentru interferenţă, dar tabloul respectiv nu se observă, întrucît razele sînt paralele. Acesta însă poate fi localizat cu ajutorul unei lentile convergente, amplasînd ecranul în planul focal al lentilei (fig. 3.13, a). în asemenea situaţii are loc interferenţa cu franje localizate în spaţiu.
Rezultatul interferenţei într-un punct oarecare al ecranului depinde de valoarea diferenţei de drum optic al razelor care se suprapun. Vom calcula diferenţa de drum optic într-un caz simplu, cînd unda de lumină este incidenţă normal pe suprafaţa lamei. Din figura 3.13, b rezultă că
A =
+ BA) • n -
X\ ^
— = 2 dn -i—.
2) 2
(3.20)
Termenul XI2 este introdus datorită reflexiei razei 1' de la un mediu mai dens din punct de vedere optic. în acest caz raza reflectată este în opoziţie de
56
I
fază cu cea incidenţă, ceea ce corespunde unei micşorări a drumului optic al acesteia cu o semilungime de undă.
Dacă lumina este incidenţă pe lama subţire sub un unghi i (fig. 3.13, a), atunci pentru diferenţa de drum optic se poate obţine relaţia
*
A = 2 d4rd
—— k - sm i + — 2
(3.21)
care pentru i = 0 trece în (3.20).
Astfel, pe ecranul E (fig. 3.13, a) se obţin franje luminoase cînd se realizează condiţia:
2d^Jn2 - sin2 i + — = ±2m—, (3.22)
iar franje întunecate cînd:
---------- X X
sin2 z + — = ±(2m +1)—. (3.23)
2 2
2 djn^-
Întrucît pentru fiecare unghi de incidenţă, adică pentru o anumită înclinare a razelor incidente, se obţine propriul tablou de interferenţă, franjele acestuia sînt numite franje de egală înclinare.
Dacă lama cu feţe plan-paralele este iluminată cu lumină albă (compusă dintr-o serie de lungimi de undă din întreg diapazonul vizibil), atunci pentru un anumit unghi de incidenţă diferenţa de drum optic (3.21) îndeplineşte condiţia de maxim (3.22) numai pentru o singură valoare a lungimii de undă. Cu alte cuvinte, pentru observator lama pare de o anumită culoare, iar dacă se modifică unghiul de incidenţă, condiţia de maxim se realizează pentru altă valoare a lungimii de undă şi lama pare colorată altfel.
d.* Inelele lui Newton
Primele cercetări experimentale ale interferenţei luminii au fost realizate de către Newton folosind dispozitivul, schema căruia este prezentată în figura 3.14. El este alcătuit dintr-o lentilă plan-convexă, aşezată cu convexitatea pe suprafaţa plană a unei lame de sticlă. Dacă raza de curbură R a lentilei este mare, atunci între ea şi lamă se formează un strat de aer de grosime variabilă numit şi pană optică de aer. La iluminarea dispozitivului cu un flux de raze paralele de lumină monocromatică, incidente normal pe suprafaţa plană a lentilei, interferenţa se obţine la suprapunerea razelor reflectate pe suprafeţele de separaţie superioară şi inferioară ale stratului de aer de grosime variabilă cu sticla. Deoarece punctele, cărora le corespunde aceeaşi grosime a penei optice de aer, sînt situate pe cercuri concentrice cu centrul în punctul de contact C al lentilei cu lama de sticlă (fig. 3.14), franjele luminoase şi întunecate au forma unor inele, numite inelele lui Newton.
Razele inelelor lui Newton obţinute în lumina reflectată se determină uşor Am figura 3.14. Presupunem că inelul cu numărul m se formează în punctele aflate la distanţa r,„ de punctul C, unde grosimea penei de aer este dm« R. Din triunghiul dreptunghic ODA avem:
r2=R2-(R-dJ=2Rdm-d2m«2Rdm,
de unde
rm=JÎMm. (3.24)
Fig. 3.13
57
Diferenţa de drum optic în punctele unde grosimea penei de aer este dm are tot forma (3.20), însă se consideră n « 1 (pentru aer).
Dacă această diferenţă de drum constituie un număr par de semilungimi de undă, adică:
X X
2a,„ -i— = 2m—,
2 2
atunci inelul este luminos. Dacă însă se realizează
condiţia de minim
, X s x X
2dm+- = (2m + l)-,
- inelul este întunecat. Determinînd din aceste condiţii grosimea penei de aer d„„ pentru raza unui inel luminos, din (3.24) avem:
iar pentru unul întunecat:
r™in = sfmRX. (3.26)
Se observă că raza primului inel luminos este r[max = yjRX/2, în centrul inelelor formîndu-se o pată întunecată. Totodată, din aceste relaţii rezultă că la creşterea numărului m, razele inelelor vecine se măresc lent, adică interfranja se micşorează.
Aceste particularităţi se observă şi în figura 3.15. Deoarece r ~ fX, inelele lui Newton în lumină roşie (fig. 3.15, b) au razele mai mari decît cele în lumină verde (fig. 3.15, a). Dacă însă instalaţia este iluminată cu lumină albă, inelele au o structură spectrală: partea interioară a fiecărui inel este violetă, iar cea exterioară - roşie. Imaginea observată are o structură complexă cauzată de suprapunerea spectrelor de ordine diferite.
a) b)
Fig. 3.15
e. Aplicaţii ale interferenţei luminii
Fenomenul de interferenţă a luminii este larg răspîndit datorită diferitor aplicaţii atît în tehnică, cît şi în ştiinţă. Interferenţa se utilizează în măsurători de mare precizie ale diverselor mărimi fizice: lungimi, grosimi, alungiri (fenomene de dilatare), indici de refracţie ş.a. în acest scop au fost construite dispozitive, care, avînd la bază fenomenul de interferenţă a undelor, au fost numite interferometre. Metodele de măsurare elaborate constituie o ramură aparte, denumită interferometrie. Cu ajutorul inter- ferometrului, care îi poartă numele, Michelson a determinat lungimea metrului-etalon, exprimată în lungimi de undă a radiaţiei roşii a cadmiului. Interfe- rometrele sînt folosite pe larg în tehnică la controlul optic al calităţii prelucrării suprafeţelor, măsurarea exactă a unghiurilor, determinarea coeficienţilor de dilataţie, păstrarea diferitor etaloane ale dimensiunilor, controlate prin metode interferometrice, la construcţia aparatelor de înaltă precizie etc. în cercetările ştiinţifice interferometria este utilizată la studiul structurii atomilor, a nucleelor atomice, la analiza diferitor procese fizice din interiorul corpurilor.
Una dintre cele mai importante aplicaţii ale interferenţei în lame subţiri o constituie aşa-nu- mitele straturi antireflex. Este cunoscut că la trecerea luminii prin ocularele şi obiectivele dispozitivelor optice, care, deseori, sînt alcătuite din mai multe lentile, lumina parţial se reflectă, conducînd la pierderi de intensitate. Pentru evitarea acestor pierderi, pe suprafeţele lentilelor se aplică un strat subţire transparent, de grosime şi indice de refracţie astfel alese, încît razele reflectate pe ambele feţe ale stratului să se anuleze prin interferenţă, adică să fie în opoziţie de fază. Întrucît în urma interferenţei energia luminoasă se redistribuie în spaţiu, această anulare a razelor reflectate conduce la creşterea intensităţii luminoase a razelor care pătrund în sistemul optic. Deoarece ochiul uman are o sensibilitate mai mare de percepere a radiaţiilor din regiunea verde-galben a spectrului, parametrii straturilor antireflex sînt aleşi astfel, ca prin ele să treacă anume această radiaţie. Atunci în lumina reflectată vor predomina radiaţiile din regiunile roşie şi albastră ale spectrului, de aceea straturile respective par colorate într-o nuanţă albastră-purpurie. Din această cauză, asemenea straturi antireflex se mai numesc optică albastră.
58
Se dă:
SI:
X = 0,6 pm,
6-IO'7 m,
d = 6 pm,
6-IO-6 m
n = 1,5
Am - ?
O Jr lăuta* de interferenţă este obţinut cu ajutorul unt osc:;- lfoung, în care se foloseşte o radiaţie monocrc- s- := cu lungimea de undă X = 0,6 pm. în calea ireîa d n raze, perpendicular ei, se aşază o lamă de sticlă ce grosime d = 6 pm şi indice de refracţie n = 1,5. Determinaţi cu cîte franje se deplasează tabloul de interferenţă după introducerea lamei de sticlă?
Rezolvare:
Presupunem că în lipsa lamei de sticlă, într-un punct oarecare P al ecranului, se obţine un maxim de ordinul m,. Condiţia de formare a acestuia, conform relaţiei (3.12), este
A! = m}X,
unde A, = l2 - /, este diferenţa de drum optic, care, în acest caz, coincide cu cea geometrică, iar l2 şi /, sînt, respectiv, distanţele de la sursele S2 şi S, pînă la punctul de observaţie P (fig. 3.16). Introducerea lamei de sticlă conduce la creşterea diferenţei de drum optic cu d(n-1). într-adevăr:
A2 =[(/, -r/)+«c/]-/, =/2 -/j + (n-l)d = A, + («-l)r/.
întrucît diferenţa de drum optic s-a mărit în punctul P, poate fi observat un maxim de ordin m2 > m, dacă se realizează condiţia:
A2 = m2 X.
Făcînd diferenţa relaţiilor pentru A2 şi A„ avem: (n-\)d
i — ____L__ — '
X
adică tabloul de interferenţă s-a deplasat cu 5 franje.
A m = -
= 5,
© Razele a două inele Newton luminoase, observate în tabloul de interferenţă, sînt, respectiv, egale cu 2 mm şi 2,4 mm. Care este raza de curbură a lentilei plan-convexe folosită în experienţă, dacă inelele menţionate se observă în lumină reflectată (X = 0,5 pm), iar între ele mai sînt încă 2 inele luminoase?
Rezolvare:
întrucît între inelele luminoase de raze măsurate se află încă 2 inele de acelaşi tip, atunci dacă primul este de ordinul m, rezultă că celălalt este de ordinul m + 3. Conform relaţiei (3.25), pentru razele inelelor luminoase măsurate avem:
, f -
Se dă:
SI:
rm = 2 mm,
2 • 10_3m,
r„+3 = 2,4 mm,
2,4- 10-3 m,
X = 0,5 pm
5 • 10-7m
R~?
r1 2 3 4 5 * 7 8 =
m -
RX,r„
2
m+3
m + 3 -
RX.
Făcînd diferenţa acestor relaţii, obţinem:
£
r2 ■
'm+3
de unde
R = -
3A
Introducînd valorile numerice, pentru raza de curbură a lentilei se obţine R « 1,2 m.
Verificaţi-vă cunoştinţele
1. Care sînt particularităţile undelor coerente de lumină?
2. Ce reprezintă timpul de coerenţă? Dar distanţa de coerenţă?
3. Ce se numeşte drum optic? Ce reprezintă diferenţa de drum optic?
4. Care sînt condiţiile de formare a maximelor şi minimelor de interferenţă a undelor luminoase şi prin ce se deosebesc ele de cazul celor mecanice?
5. * Care este construcţia dispozitivului lui Young? Descrieţi
tabloul de interferenţă obţinut cu acest dispozitiv. 6* Ce se numeşte interfranjă şi cum poate fi determinată cu ajutorul ei lungimea de undă a luminii?
7. * Care sînt particularităţile tabloului de interferenţă obţinut
la compunerea undelor de lumină albă (compusă)?
8. * Care este diferenţa de drum optic a razelor reflectate
pe lamă? De ce franjele tabloului de interferenţă în acest caz sînt numite de egală înclinare?
9.* Cum se explică culorile peliculelor subţiri?
10. * Cum se explică formarea inelelor lui Newton?
11. Unde se aplică interferenţa?
12. * Pentru determinarea lungimii de undă a unei surse
de lumină monocromatică, aceasta a fost folosită într-un dispozitiv Young, care avea distanţa dintre fante de 1 mm, iar de la fante pînă la ecran - de 2 m. Care este lungimea de undă, dacă distanţa dintre două maxime consecutive este de 1,2 mm?
13. *O lentilă plan-convexă este aşezată cu partea
convexă pe o placă de sticlă. Sistemul este iluminat cu o radiaţie monocromatică de lungime de undă X = 0,6 pm incidenţă normal. Determinaţi grosimea stratului de aer în punctul unde în lumina reflectată se observă al patrulea minim de interferenţă.
59
a)
b)
Fig. 3.18
3.8. DIFRACŢIA LUMINII
a. Studiul calitativ al difracţiei luminii
»
Bl Să ne amintim__________________________________________________
Este cunoscut din ci. a IX-a că fenomenul de difracţie a undelor mecanice reprezintă pătrunderea lor în regiunea de umbră a diferitor obstacole întîlnite în calea de propagare. Vom descrie succint esenţa acestui fenomen în cazul undelor de pe suprafaţa apei.
Fenomenul de difracţie se observă atunci cînd dimensiunile obstacolelor aflate în calea propagării undelor sînt comparabile sau mai mici decît lungimea de undă.
Propagarea undelor în apropierea obstacolelor se explică în baza principiului Huygens:
I Orice punct al mediului pînă la care a ajuns unda la momentul dat devine sursă de unde sferice secundare, iar înfăşurătoarea lor geometrică la un moment ulterior reprezintă noul front de undă.
în figura 3.17 este ilustrat fenomenul de difracţie realizat de undele de pe suprafaţa apei dintr-o cuvă (v. Fizică, cl. IX). Se observă că în cazul dimensiunilor fantei comparabile cu lungimea de undă, difracţia începe chiar în imediata apropiere a fantei (fig. 3.17, a). Pentru obstacole de dimensiuni mari (fig. 3.17, b) efectele fenomenului de difracţie se pot observa, dar numai la distanţe mari de la acestea. Cu cît obstacolul este mai mare, cu atît denaturarea frontului de undă în apropierea lui devine mai evidentă.
Dacă lumina reprezintă un proces ondulatoriu, atunci trebuie să existe şi fenomenul de difracţie a ei, iar condiţiile de observare a acestuia trebuie să fie similare cu cele din cazul undelor mecanice. Cu alte cuvinte, pentru observarea difracţiei luminii în apropierea obstacolului este nevoie ca acesta să fie de dimensiuni comparabile cu lungimea de undă a luminii, adică de ordinul micrometrilor (IO"6 m).
Să analizăm procesul de propagare a luminii de la o sursă punctiformă cînd în calea ei este situat un paravan P, prevăzut cu o diafragmă, care limitează o deschidere circulară reglabilă (fig. 3.18). Dacă deschiderea diafragmei este mare, pe ecranul E se observă o pată luminoasă cu un contur distinct, urmată de regiunea de umbră (fig. 3.18, a). Dimensiunile petei luminoase se determină uşor prin metode geometrice, considerînd razele de lumină nişte linii drepte. Prin analogie cu undele de pe suprafaţa apei, dacă vom îndepărta ecranul de paravan la o distanţă mult mai mare decît diametrul diafragmei, vom remarca o uşoară pătrundere a luminii în regiunea de umbră, adică dispariţia conturului distinct al petei luminoase.
Efectul fenomenului de difracţie este mai pronunţat în cazul obstacolelor de dimensiuni mult mai mici decît distanţa pînă la ecran. La micşorarea considerabilă a diametrului diafragmei din paravanul P, pe ecranul E se formează o serie de inele alternativ luminoase şi întunecate (fig. 3.18, b). Imaginea obţinută pe ecran în asemenea situaţie este numită tablou de difracţie. Acesta demonstrează că în apropierea obstacolelor lumina nu se propagă rectiliniu, ea poate pătrunde şi în regiunea de umbră. Tabloul de difracţie depinde de forma şi dimensiunile obstacolului. Dacă
60
vom varia dimensiunile diafragmei, menţinîndu-le, totodată, comparabile cu lungimea de undă, vom observa că în tabloul de difracţie inelele luminoase devin întunecate şi, invers, cele întunecate - luminoase. Forma tabloului de difracţie întotdeauna o repetă pe cea a obstacolului. Tabloul de difracţie se observă uneori şi în condiţii obişnuite. De exemplu, inelele colorate care se observă în jurul surselor de lumină, privite în condiţii de ceaţă sau prin geamuri aburite, apar din cauza difracţiei luminii pe particulele foarte mici de apă, care constituie obstacole de dimensiuni comparabile cu lungimea de undă.
Fenomenul difracţiei luminii a fost observat pentru prima dată de către savantul italian Francesco Grimaldi (1618-1663), însă a fost explicat abia în 1818 de către fizicianul francez A. J. Fresnel (1788-1827). Pentru aceasta, el a completat principiul lui Huygens cu noţiunea despre interferenţa undelor secundare (numit ulterior principiul Huygens-Fresnel):.
Orice punct al mediului pînă la care ajunge unda luminoasă la momentul dat devine sursă de unde sferice secundare coerente, care apoi interferează, iar rezultatul interferenţei reprezintă noul front de undă.
în baza acestui principiu, Fresnel a demonstrat, din punct de vedere teoretic, redistribuirea intensităţii luminoase sub formă de maxime şi minime şi propagarea rectilinie a luminii, chiar dacă aceasta este o undă. Astfel, teoria lui Fresnel a constituit cel mai convingător argument la confirmarea naturii ondulatorii a luminii.
b. Difracţia luminii de ia o fantă.
9
Reţeaua de difracţie
B 9
Principiul Huygens-Fresnel permite a înţelege cum are loc formarea tabloului de difracţie. Admitem că sursa de lumină se află în focarul lentilei convergente Lj (fig; 3.19). Atunci la paravanul P ajunge frontul unei unde plane, care nimereşte pe o fantă îngustă de lăţime comparabilă cu lungimea de undă. Conform principiului Huygens-Fresnel, fiecare punct de pe suprafaţa fantei devine sursă de unde sferice coerente, (în figura 3.19, din infinitatea de puncte ale frontului de undă sînt indicate doar trei.) De la acestea se propagă unde coerente de-a lungul unor raze situate sub diferite unghiuri cp < rr/2 faţă de normala la planul fantei. Evident, de la fiecare punct-sursă de unde secundare, din multitudinea de direcţii se va găsi cîte o rază, situată sub unul şi acelaşi unghi: de
exemplu, razele 1 sub unghiul cp = 0 şi razele 2 sub un unghi arbitrar cp. Întrucît undele luminoase ce se propagă de la fantă sînt coerente şi parcurg distanţe diferite, ele sînt caracterizate de o anumită diferenţă de drum optic şi, în funcţie de condiţia de maxim sau minim îndeplinită, în punctul de observaţie se va forma o franjă luminoasă sau întunecată. Deoarece razele cercetate sînt paralele, pentru observarea tabloului de difracţie este utilizată lentila L2 în focarul căreia este aşezat ecranul E (fig. 3.19). In figura 3.20 este reprezentat tabloul de difracţie obţinut la iluminarea unei fante înguste cu lumină roşie.
Observarea difracţiei luminii de la o singură fantă este însoţită de dificultăţi legate de intensitatea luminoasă destul de redusă a ffanjelor. S-a constatat că pentru obţinerea unui tablou de difracţie mai pronunţat, lumina trebuie transmisă printr-un sistem de fante, într-adevăr, cu cît numărul de fante este mai mare, cu atît mai multă lumină pătrunde prin ele. Pe de altă parte, o franjă luminoasă observată pe ecran este rezultatul nu numai al difracţiei, adică al interferenţei undelor sferice secundare, dar şi al interferenţei undelor ce sosesc în acel punct al ecranului de la diferite fante. Cu alte cuvinte, intensitatea luminoasă a franj ei obţinute de la o fantă este amplificată de acţiunea celorlalte.
Această metodă de amplificare a intensităţii luminoase a tabloului de difracţie stă la baza dispozitivului numit reţea de difracţie. Ea este alcătuită
5 J
61
dintr-un număr mare de fante înguste paralele, rectilinii, egale, echidistante şi foarte apropiate una de alta. Reţelele de difracţie sînt confecţionate din plăci transparente sau reflectatoare (oglinzi plane), în ambele cazuri pe suprafaţa materialului sînt trasate un număr N de linii (zgîrieturi) echidistante. în prezent se confecţionează reţele de difracţie, care conţin mai mult de 1 000 de linii (zgîrieturi) pe fiecare milimetru de lungime, numărul total N ajungînd pînă la sute de mii. Liniile reprezintă suprafeţe cu multe asperităţi, de aceea împrăştie lumina incidenţă pe reţea, iar spaţiile dintre ele, rămînînd transparente sau reflectoare, îndeplinesc rolul fantelor reţelei.
O caracteristică importantă a reţelei de difracţie este constanta reţelei sau perioada ei, care reprezintă suma dintre lăţimile unei fante şi a unui spaţiu opac (fig. 3.21): d-a + b, unde a este lăţimea unei fante, iar b - a unei zgîrieturi. Dacă se cunoaşte numărul de trăsături (fante) pe o unitate de lungime l, adică n = Nil, atunci pentru perioada reţelei putem scrie:
d = — = ~. (3-27)
N n
Fig. 3.22
Să cercetăm procesul de formare a tabloului de difracţie. Presupunem că pe suprafaţa unei reţele de difracţie cade normal un fascicul de raze paralele de lumină monocromatică, avînd lungimea de undă X. După trecerea prin reţea, în urma fenomenului de difracţie, lumina se propagă în toate direcţiile posibile, de-a lungul unor raze sub formă de unde coerente, iar interferenţa lor amplifică intensitatea luminoasă numai pe anumite direcţii. Aceste direcţii se determină din condiţia că diferenţa de drum optic dintre undele coerente provenite de la două fante consecutive trebuie să constituie un număr par de semilungimi de undă (condiţia maximelor de interferenţă (3.12)), adică:
X
A = ±2 m • — ■
2
Pe de altă parte, din figura 3.21 se observă că diferenţa de drum optic A se exprimă prin constanta reţelei d. într-adevăr, din triunghiul dreptunghic ABC avem:
A = d sincp
şi din ultimele două relaţii obţinem:
dsincp = ±w?i, (3.28)
numită formula reţelei de difracţie. Ea exprimă condiţia de obţinere a franjelor luminoase (maximelor principale) în urma transmiterii luminii printr-o reţea de difracţie.
în formula (3.28) unghiul cp este numit unghi de difracţie, iar m = 1, 2, 3,.... Pentru m - 0 se obţine o franjă caracterizată de cea mai mare intensitate luminoasă. Acestei franje i se mai spune maxim central sau maxim de ordinul zero. Dacă m > 1, pe ecran se vor observa cîte două maxime principale de aceeaşi intensitate dispuse simetric faţă de maximul central şi numite maxime de ordinul m. în figura 3.22, aşib sînt reprezentate spectrele obţinute cu o reţea de difracţie iluminată cu lumină violetă şi, respectiv, roşie. După cum se constată din experienţe, odată cu creşterea ordinului maximelor intensitatea lor luminoasă se micşorează, iar mărirea numărului de fante (micşorarea perioadei d) conduce la creşterea distanţei dintre franjele luminoase.
Dacă reţeaua de difracţie este iluminată cu lumină albă, atunci tabloul de difracţie apare colorat, obţinîn- du-se cîte un spectru pentru fiecare ordin al tabloului (fig. 3.22, c). Menţionăm că în acest caz s-a folosit o reţea de difracţie mai performantă decît cea folosită la obţinerea spectrelor din figurile 3.22, a şi b.
62
Problemă rezolvată
Un fascicul de lumină monocromatică de lungime de undă X = 0,6 pm cade normal pe suprafaţa unei reţele de difracţie. Tabloul de difracţie este proiectat pe un ecran, situat la distanţa D = 1 m de la reţea. Se constată că distanţa dintre maximele central şi principal de ordinul m = 1 este / = 15 cm. Determinaţi: a) perioada reţelei de difracţie; b) numărul total de maxime principale, obţinut cu această reţea; c) unghiul de difracţie ce corespunde direcţiei în care se formează ultimul maxim principal.
Se dă:
SI:
Rezolvare:
X = 0,6 pm,
6 ■ 10-7 m
a) Perioada reţelei de di-
D= lm,
fracţie se determină din
m= 1,
formula (3.28):
1= 15 cm
0,15 m
, mX d =-------.
d~2,N-2,
sin 9
Din figura 3.23 se observă
9™ -
cătgş =l/D, iar deoarece D»l, unghiul 9 este mic şi
tgcp « sin cp. Atunci pentru perioada reţelei obţinem:
d =
mXD
l
- 4pm.
b) Întrucît maximele principale sînt dispuse simetric în stînga şi în dreapta de la cel central, rezultă că numărul lor total este:
N = 2 m
max
+ 1?
unde mmax este ordinul ultimului maxim, care poate fi observat cu această reţea. Lumina transmisă de o reţea de difracţie se propagă de la aceasta sub unghiuri cuprinse între 0 şi n/2. Atunci din (3.28), cînd sin cp = 1, avem:
"W -f ~6’67'
Aşa cum ordinul maximelor trebuie să fie un număr
întreg, rezultă că mmax = 6, iar numărul total de maxime N= 13.
c) Unghiul de difracţie ce determină direcţia în care se formează ultimul maxim se calculează tot din (3.28), dar scrisă pentru această direcţie:
c/sra(pm = ffîmax/,.
Exprimînd unghiul cpm din expresia de mai sus, obţinem:
cpm = arcsin
din care numeric avem cpm « 64°.
d
Verificaţi-vă cunoştinţele
1. Care este esenţa fenomenului de difracţie a undelor mecanice?
2. Care trebuie să fie ordinul dimensiunilor obstacolelor întîlnite în calea undelor de lumină pentru a observa fenomenul de difracţie? De ce?
3. Ce reprezintă tabloul de difracţie a luminii? Explicaţi modul de formare a lui la difracţia pe diferite obstacole.
4. Formulaţi principiul Huygens-Fresnel. Ce explică acest principiu?
5. Cum se explică, din punct de vedere calitativ, formarea tabloului de difracţie pe o fantă îngustă?
6. Ce reprezintă o reţea de difracţie? Cu ce este egală perioada ei?
7. Care este formula reţelei de difracţie şi ce exprimă ea?
8. Caracterizaţi tabloul de difracţie, obţinut cu o reţea. Cum se modifică acesta în funcţie de valoarea perioadei reţelei de difracţie?
9. Lumina cu lungimea de undă X = 0,6 pm cade normai pe o reţea de difracţie transparentă. Determinaţi perioada reţelei şi unghiul maxim de difracţie, dacă se cunoaşte că unul din maxime se formează pentru unghiul de difracţie de 30°, iar ordinul ultimului maxim este mmax = 7.
10. Pe o reţea de difracţie cade normal lumină monocromatică cu lungimea de undă Â = 0,41 pm. Unghiul Acp dintre direcţiile spre maximele principale de ordinele 1 şi 2 este de 2,35°. Determinaţi numărul de fante pe milimetru al reţelei de difracţie.
63
Lucrare de laborator
5
Determinarea lungimii de undă a luminii cu ajutorul reţelei de difracţie
Determinarea limitelor lungimii de undă ale spectrului vizibil.
Un stativ, o reţea de difracţie, un dispozitiv pentru determinarea lungimii de undă a luminai, o sursă de lumină albă. \
Scopul
lucrării:
Aparate şi materiale necesare:
Consideraţii teoretice
Dispozitivul folosit în această lucrare de laborator pentru determinarea lungimii de undă a luminii reprezintă o riglă gradată în milimetri, avînd la unul din capete o ramă, în care se montează reţeaua de difracţie. La celălalt capăt se află un ecran, situat perpendicular pe riglă, care se poate deplasa de-a lungul ei. Ecranul are o fantă îngustă la mijloc şi este înzestrat cu o scală milimetrică cu zero la centrul fantei.
Privind la sursa de lumină prin reţea şi fantă concomitent (fig. 3.24), observatorul va vedea pe ecran de ambele părţi ale fantei spectrele colorate de difracţie de ordinele 1,2 ş.a.m.d. în figură este reprezentat schematic modul de formare a maximelor (spectrelor) cu ajutorul acestui dispozitiv. Fiecare maxim reprezintă un spectru, marginile căruia se află la distanţele lv şi lr de la centrul fantei.
/ Poziţia maximului principal de ordinul m- 1 se determină din relaţia (3.28), în care X este lungimea de undă a luminii de culoarea cercetată a spectrului, d perioada reţelei de difracţie, iar cp unghiul sub care este observat maximul respectiv. Întrucît pentru maximul principal de ordinul 1 unghiul cp este întotdeauna mic (cp < 5°), atunci sin 9 ~ tgcp =l/L {fig. 3.24). Aşadar, pentru determinarea lungimii de undă a luminii, obţinem relaţia:
. Id,
X=~Y’ (3.29)
unde L este distanta dintre reţeaua de difracţie si ecran.
Mod de lucru:
1. Montaţi reţeaua de difracţie în rama dispozitivului şi fixaţi-1 de cleştele stativului {fig. 3.25).
2. Privind prin reţeaua de difracţie, orientaţi dispozitivul spre sursa de lumină astfel încît ea să fie văzută prin fanta îngustă a ecranului. Pe ecran, de o parte şi de alta a fantei, veţi observa spectrele de difracţie de cîteva ordine.
3. Citiţi de pe scala ecranului privit prin reţea poziţiile marginilor roşie lr şi violetă lv ale spectrului de ordinul 1 de pe ambele părţi ale fantei. Determinaţi valorile medii ale distanţelor lr şi lv pentru fiecare culoare şi intro- duceţi-le în tabelul de mai jos.
4. De pe rigla gradată în milimetri a dispozitivului notaţi distanţa L dintre reţea şi ecran, introducînd-o, de asemenea, în tabel.
5. Repetaţi măsurătorile din punctele 3 şi 4 pentru alte două poziţii ale ecranului faţă de reţeaua de difracţie şi introduceţi rezultatele în acelaşi tabel.
Fig. 3.25
Nr.
d
(10~5 m)
L
(m)
lr
(cm)
k
(cm)
K
(10-6m)
K
(10 6 m)
1
2
3
Valoarea
medie
6. în baza relaţiei (3.29), calculaţi lungimile de undă Xr şi A0, ce constituie limitele spectrului vizibil, apoi valorile lor medii.
7. Estimaţi erorile absolută şi relativă la determinarea lungimii de undă a luminii pentru cele două culori, folosind următoarele relaţii:
aX
T
în calcule, pentru Al şi AL se va lua eroarea aparatului de măsură.
8. Prezentaţi rezultatul final sub forma:
A/ AL / L :
AL = s • L.
Lr=(\±ALr)-l(T6m; =(K ± ALW) • 1 (T6 m;
er = •••%,
e„ = • • •%.
Fig^.24
9. Formulaţi concluziile
.png)