OSCILAŢII ELECTROMAGNETICE

19:07 0 Comments

a. Circuitul oscilant ideal
Studiind oscilaţiile mecanice, s-a constatat că ele sînt însoţite de un continuu proces de transformare a energiei potenţiale a oscilatorului în energie cinetică şi invers. După cum vom vedea în continuare, circuitul închis compus dintr-un condensator şi o bobină, numit circuit oscilant, reprezintă şi el o sursă de oscilaţii, dar însoţite de transformarea energiei cîmpului electric în cea a cîmpului magnetic şi invers. Din această cauză asemenea oscilaţii au fost numite oscilaţii electromagnetice libere.
Menţionăm că în realitate orice circuit oscilant posedă şi o anumită rezistenţă electrică. Pentru simplitate vom cerceta cazul unui circuit oscilant ideal, elementele căruia au rezistenţe foarte mici şi acestea pot fi neglijate.
Să urmărim procesul de apariţie a oscilaţiilor electromagnetice într-un circuit oscilant ideal, com- parîndu-1 cu cel de apariţie a oscilaţiilor mecanice în cazul unui pendul elastic (fig. 3.1). Dacă în circuitul oscilant condensatorul nu este încărcat, atunci sistemul se află în stare de echilibru.
Fie la momentul de timp t = 0 condensatorul de capacitate C, încărcat preventiv pînă la o tensiune Um, are pe armături o sarcină qm = CUm şi este legat la bornele unei bobine de inductanţă L. Astfel, circuitului oscilant i s-a transmis o energie egală cu energia cîmpului electric dintre armăturile condensatorului q2m/(2C). Această stare a circuitului oscilant este echivalentă cu cea a pendulului elastic, scos din
poziţia de echilibru la distanţa -xm, fiindu-i transmisă energia potenţială kxif.2, unde k este constanta de elasticitate a resortului (fig. 3.1, a). Odată cu începerea descărcării condensatorului (micşorării sarcinii de pe armăturile lui), prin bobină circulă un curent, a cărui intensitate creşte treptat tot aşa cum în cazul pendulului elastic se măreşte viteza corpului. Micşorarea sarcinii şi, respectiv, creşterea curentului nu se produce instantaneu din cauza fenomenului de auto- inducţie provocat de variaţia în timp a curentului prin bobină. într-adevăr, creşterea curentului prin bobină determină apariţia unui cîmp magnetic variabil în timp. La rîndul său, acest cîmp magnetic generează un curent indus şi, respectiv, un cîmp electric. Conform regulii lui Lenz, curentul indus are un aşa sens, încît fluxul magnetic produs de acesta se opune creşterii fluxului magnetic inductor, ceea ce împiedică descărcarea instantanee a condensatorului.
La momentul t = T/4 (fig. 3.1, b) pendulul elastic revine la poziţia de echilibru, unde viteza corpului este maximă, iar energia potenţială a resortului se transformă complet în energie cinetică mvl /2. Analogic, la acelaşi moment, condensatorul este complet descărcat (sarcina de pe armături şi tensiunea sînt nule), intensitatea curentului în bobină este maximă i = Im, iar energia cîmpului electric al condensatorului se transformă complet în energia cîmpului magnetic al bobinei LJ^/2.
Continuînd analogia cu pendulul elastic, observăm că în intervalul de timp de la Tf4 pînă la T/2 corpul pendulului, mişcîndu-se după inerţie, comprimă resortul pînă la o deformaţie egală cu cea iniţială, dar în sens opus, adică cu xm. Respectiv, energia
42
cinetică a pendulului se transformă în energie potenţială. în circuitul oscilant micşorarea intensităţii curentului în acest interval de timp conduce la apariţia unui curent indus, al cărui flux magnetic, conform regulii lui Lenz, se opune micşorării fluxului magnetic inductor. în consecinţă tensiunea electromotoare de autoinducţie ea = -LAi/Af de la bornele bobinei încarcă condensatorul cu sarcini de semne opuse faţă de cum a fost încărcat iniţial. La momentul t=Tf.2, în circuitul oscilant tensiunea atinge valoarea maximă negativă -Um, iar intensitatea curentului i = 0 (fig: 3.1, c).
în intervalul (7/2, T) atît în cazul pendulului elastic, cît şi în circuitul oscilant se produc în aceeaşi ordine fenomene ce au avut loc în intervalul (0, 7/2), însă în sens contrar. Începînd cu momentul t = T/2, condensatorul se descarcă şi energia cîmpului electric din circuitul oscilant egală cu q2m /(2C) descreşte. Tensiunea şi, respectiv, sarcina de pe armăturile condensatorului se micşorează, iar intensitatea curentului prin bobină creşte. La momentul t = 3T/4 sarcina şi tensiunea sînt nule, iar i = -Im, adică curentul este maxim, dar de sens opus celui care traversa circuitul în primul sfert de perioadă. Energia circuitului oscilant este egală cu cea a cîmpului magnetic LPj2 (fig. 3.1, d). După reîncărcarea condensatorului în intervalul de timp (3T/4, T), energia cîmpului magnetic iarăşi se transformă complet în energia cîmpului electric şi circuitul oscilant revine la starea iniţială {fig. 3.1, e), reluîndu-se apoi aceeaşi succesiune de fenomene.
Din analiza făcută mai sus rezultă că procesul de încărcare-descărcare a condensatorului este periodic, iar mărimile q, i, u ce caracterizează acest proces sînt oscilatorii. Din figura 3.1 observăm că dependenţele de timp ale tensiunii u şi intensităţii curentului i din circuitul oscilant ideal se descriu cu funcţiile „sinus” sau „cosinus”, adică sînt funcţii armonice. Aceasta ne permite să afirmăm că în acest circuit, ca şi în cazul pendulului elastic, se produc oscilaţii armonice libere. Aşadar
circuitul oscilant ideal reprezintă analogul electromagnetic al oscilatorului liniar armonic.
b.* Analogia dintre oscilaţiile mecanice şi electromagnetice.
Perioada si frecventa oscilaţiilor
a a a
electromagnetice
Asemănarea dintre oscilaţiile electromagnetice şi cele mecanice constă în caracterul unic al modului de variaţie a mărimilor ce le caracterizează şi se explică prin analogia condiţiilor ce le provoacă. Revenirea la poziţia de echilibru în cazul pendulului elastic este determinată de forţa de elasticitate Fx = -kx dependentă liniar de deplasarea x de la această poziţie. în circuitul oscilant revenirea la starea de echilibru corespunde procesului de descărcare a condensatorului determinat de tensiunea u = q/C, dependentă liniar de sarcina q.
Aşadar coeficientului de elasticitate k, în cazul oscilaţiilor mecanice, îi corespunde mărimea inversă a capacităţii condensatorului l/C în cazul oscilaţiilor electromagnetice. Aşa cum inerţia corpului de masă m a pendulului elastic împiedică creşterea bruscă a vitezei acestuia, curentul electric în circuitul oscilant se măreşte treptat datorită fenomenului de autoinducţie din bobina de inductanţă L. Rezultă că inductanţa L în cazul oscilaţiilor electromagnetice are acelaşi rol ca şi masa m în cazul celor mecanice. Asemenea analogie poate fi stabilită şi pentru alte mărimi fizice. în tabelul 1 sînt prezentate mărimile fizice mecanice şi electrice, precum şi corespondenţa dintre ele la studiul oscilaţiilor.
43
Tabelul 1
Oscilaţii mecanice Oscilaţii electromagnetice
Elongaţia x = A cos tot <—» Sarcina g = gm cos cof Viteza v = 4—* Intensitatea curentului i = ^
Acceleraţia a = ~ c—» Viteza de variaţie a intensităţii
Af 1 Ai
curentului ——
Af
Forţa F c—> Tensiunea U
Masa m c—> Inductanţa L
Constanta de elasticitate k c—> Mărimea inversă capacităţii 1/C Energia potenţială kx2l2 «—> Energia cîmpului electric g2/(2C) Energia cinetică mv2l2 <—> Energia cîmpului magnetic Fi2/2
Folosind tabelul 1, orice relaţie (obţinută la studiul oscilaţiilor mecanice) poate fi scrisă în limbajul oscilaţiilor electromagnetice. De exemplu, relaţia care exprimă legea conservării energiei mecanice în cazul oscilatorului liniar armonic
kA2 _ mv2n, _ kx2 t mv2
~Y ~ ~T“ ~ ~T + ~2~’
pentru circuitul oscilant ideal are aspectul:
A = = 1mi
2C 2 2C 2 ' y }
Întrucît în circuitul oscilant ideal nu există pierderi de energie, oscilaţiile electromagnetice se produc numai în baza transformărilor energetice reciproce din interiorul lui şi sînt numite proprii. Relaţia pentru pulsaţia proprie a acestor oscilaţii se poate demonstra teoretic, însă este mai simplu să folosim tabelul 1 şi formula to = kim pentru pulsaţia proprie a pendulului elastic. Aşadar, pentru pulsaţia proprie a oscilaţiilor electromagnetice avem:
U> :
\[lc’
(3.2)
iar pentru valorile perioadei şi frecvenţei proprii obţinem:
si
2ix ,—
— = 2ka/ÎC to
T
1
(3.3)
(3.4)
2ti a/LC '
Relaţia (3.3) a fost demonstrată pentru prima dată în anul 1853 de către fizicianul englez William Thomson (1824-1907) şi este numită formula lui Thomson.
Frecvenţa (perioada) proprie a oscilaţiilor din circuitul oscilant depinde numai de parametrii acestuia şi pentru valori mici ale capacităţii şi inductanţei se pot realiza oscilaţii de frecvenţă foarte înaltă.
c.* Oscilaţii electromagnetice amortizate şi forţate
Studiul circuitului oscilant ideal demonstrează că procesul de transformare a energiei cîmpului electric al condensatorului în cea a cîmpului magnetic al bobinei şi invers poate continua la nesfîrşit. Deoarece elementele circuitului ideal nu posedă rezistenţă, nu există nici pierderi de energie prin efect Joule. De regulă însă, orice circuit oscilant real întotdeauna este caracterizat şi de o anumită rezistenţă. Din această cauză energia acumulată iniţial în condensator se transformă parţial în energia cîmpului magnetic şi parţial, datorită efectului termic al curentului -In energie internă, ce.se degajă sub formă de căldură. După fiecare perioadă, sarcina de pe armăturile condensatorului devine mai mică decît în cea precedentă, adică amplitudinea oscilaţiilor electromagnetice se micşorează şi în decursul unui număr oarecare de perioade ele se sting. Astfel de oscilaţii sînt numite amortizate (fig. 3.2). Prin urmare
I intr-un circuit oscilant real sînt posibile doar oscilaţii electromagnetice amortizate.
Pentru menţinerea procesului oscilatoriu al mărimilor electrice în circuitul oscilant este nevoie să compensăm pierderile de energie prin alimentarea lui la o sursă exterioară. Dacă compensarea se face periodic, atunci în circuit se stabilesc oscilaţii ale curentului şi tensiunii, caracterizate de amplitudine constantă şi frecvenţă egală cu cea a sursei de alimentare. Astfel, periodic se realizează un transfer de energie din exterior spre circuitul oscilant. în asemenea cazuri oscilaţiile sînt numite oscilaţii electromagnetice fortate.
>
44
Problemă rezolvată
Intensitatea curentului din circuitul oscilant ideal alcătuit dintr-o bobină de inductanţă L = 10 H şi un condensator variază în timp conform legii i = 0,1 sin 100 rtt (A).
Determinaţi: a) perioada oscilaţiilor electromagnetice; b) capacitatea electrică a condensatorului; c) energiile maxime ale cîmpurilor electric şi magnetic.
Rezolvare:
a) Din comparaţia legii de variaţie a curentului dată în condiţiile problemei cu forma generală a legii armonice i = Imsinwt rezultă lm = 0,1 A şi co = 2nv = = 100tc, deci frecvenţa v = 50 Hz. Atunci T = 1/v = 0,02 s.
Se dă:
L= 10 H,
i - 0,1 sin 100 nt (A)
a) T-l;
b) C-h
b) Capacitatea electrică a condensatorului se determină uşor din formula lui Thomson (3.3). Avem:
C = -^r- = IO-6 F = 1 uF.
4tt2L r
c) Deoarece circuitul oscilant este ideal, conform legii conservării energiei, valorile maxime ale energiilor cîmpurilor electric şi magnetic sînt egale. într-adevăr,
W £ = — nE 2 C
2C
12 p
or
iar numeric se obţine Wm
rr-îA-
2 C 2
Wm,B = 0,05 J.
W,
m,B>
© Verificaţi-vă cunoştinţele
1. Ce se numeşte circuit oscilant?
2. Care sînt transformările energetice posibile într-un circuit oscilant şi ce reprezintă oscilaţiile electromagnetice?
3. în baza cărui fenomen este posibilă reîncărcarea condensatorului din circuitul oscilant? Descrieţi procesele care au loc în acest circuit, comparîndu-le cu cele ce se produc în cazul pendulului elastic.
4* Care este corespondenţa dintre mărimile fizice ce descriu oscilaţiile mecanice şi cele electromagnetice?
5* Care este formula lui Thomson pentru perioada proprie a oscilaţiilor electromagnetice?
6.* Cum se numesc oscilaţiile electromagnetice care se produc într-un circuit oscilant real?
3.2.* CÎMPUL ELECTROMAGNETIC
Analiza fenomenelor electrice şi magnetice studiate în capitolele precedente sugerează ideea existenţei unei legături între ele. într-adevăr, conform experienţelor lui Oersted, în jurul oricărui conductor parcurs de curent electric întotdeauna există un cîmp magnetic cu linii închise. Pe de altă parte, studiul fenomenului de inducţie electromagnetică demonstrează că variaţia inducţiei cîmpului magnetic determină apariţia unui cîmp electric turbionar, adică tot cu linii închise, datorită căruia apare curentul indus în spirele bobinei.
7* Cînd oscilaţiile dintr-un circuit oscilant sînt numite oscilaţii forţate?
8* Determinaţi capacitatea condensatorului dintr-un circuit oscilant ideal, dacă bobina lui are inductanţa L = 10 mH, iar perioada oscilaţiilor electromagnetice este de 4 ms.
9* Cum şi de cîte ori se modifică frecvenţa oscilaţiilor electromagnetice dintr-un circuit oscilant, dacă bobina lui este înlocuită cu alta, avînd inductanţa de 16 ori mai mare?
10* O bobină de inductanţă 1 = 5 mH şi un condensator plan cu aer, avînd armăturile de arie S = 100 cm2, formează un circuit oscilant. Determinaţi distanţa dintre armăturile condensatorului, dacă perioada oscilaţiilor electromagnetice este de 3 ps.