CIRCUITE ÎN CURENT f ALTERNATIV

19:06 0 Comments

Elementele de bază ale oricărui circuit electric sînt rezistorul, condensatorul şi bobina, caracterizate, respectiv, de rezistenţa R, capacitatea C şi inductanţa L. în realitate, fiecare dintre aceste elemente întotdeauna este caracterizat de combinaţia acestor mărimi, însă de multe ori ele pot fi considerate ideale. în acest caz, fiecare element este definit exclusiv printr-o singură mărime R, L sau C. Pentru simplitate, în cele ce urmează, vom considera circuitele în curent alternativ compuse din elemente ideale.
a. Particularităţile circuitelor în curent alternativ
Spre deosebire de circuitele de curent continuu, în cele de curent alternativ se evidenţiază anumite particularităţi importante specifice acestora. Vom menţiona, în primul rînd, că circuitele în curent alternativ reprezintă sisteme oscilatorii. Tensiunea sinusoidală
u-Umsimot, (2.9)
aplicată la bornele circuitului, constituie sursa de energie care întreţine oscilaţiile de pulsaţie co ale intensităţii curentului şi tensiunii din circuit.
27
Cu toate că legea lui Ohm a fost stabilită pentru curentul continuu, ea este valabilă şi pentru valorile instantanee ale tensiunii şi intensităţii curentului alternativ. Pentru aceasta este necesar ca intensitatea curentului să rămînă aproximativ aceeaşi în orice secţiune a conductorului. Curentul electric de frecvenţă industrială (v = 50 Hz) îndeplineşte condiţia dată cu un grad de precizie foarte înalt şi de aceea se spune că este cvasistaţionar.
Comportamentul condensatoarelor şi al bobinelor în curent alternativ este calitativ diferit de cel în curent continuu. Dacă într-un circuit de curent continuu condensatorul are un rol simplu de întrerupere a circuitului, atunci în curent alternativ el suportă un proces de încărcare-descărcare cu atît mai intens, cu cit este mai mare frecvenţa v. Din această cauză în circuit se stabileşte un curent alternativ de aceeaşi frecvenţă. în curent continuu bobina se comportă ca un rezistor, în care se degajă prin efect Joule o cantitate de căldură proporţională cu rezistenţa ei, iar în curent alternativ ea determină apariţia unei t.e.m. de autoinducţie, care modifică intensitatea curentului din acest circuit.
Întrucît procesele şi legile care au loc în circuitele de curent alternativ sînt mai complicate decît cele din curent continuu, vom începe cu analiza celor mai simple circuite, compuse din elemente individuale considerate ideale. Menţionăm că în cazul circuitelor mai complicate este foarte comodă reprezentarea mărimilor fizice oscilatorii ale circuitului prin fazori în cadrul unor diagrame.
Să ne amintim____________________________________
La studiul oscilaţiilor mecanice (în clasa a X-a) s-a introdus noţiunea de fazor. Acesta este un vector rotitor atribuit oscilaţiei descrise de ecuaţia (2.1) şi caracterizat de următoarele proprietăţi: are modulul egal cu amplitudinea oscilaţiei reprezentate A; este orientat astfel incit unghiul format cu o direcţie aleasă arbitrar (de exemplu, axa Ox), la momentul iniţial de timp t = 0, este egal cu faza iniţială a oscilaţiei <p0 (fig. 2.5).
Deoarece unghiul dintre fazor şi axa Ox creşte liniar în timp, fazorul se roteşte în planul xOy în sens trigonometric, avînd viteza unghiulară egală cu pulsaţia <n a oscilaţiei reprezentate.
b. Rezistor ideal în curent alternativ
Cel mai simplu circuit electric se obţine la aplicarea unei tensiuni la bornele rezistorului de rezistenţă R (fig. 2.6, a). Dacă tensiunea aplicată este continuă, atunci în circuit se stabileşte un curent staţionar determinat de legea lui Ohm
I = (2.10)
iar în rezistor se degajă o anumită cantitate de căldură.
Dacă însă se aplică tensiunea alternativă de forma
(2.9) , atunci prin rezistor circulă un curent alternativ (cvasistaţionar), valoarea instantanee a căruia se determină tot din legea lui Ohm:
u U .
i = — = —f-sincoî = /msma)t,
K R
unde Im =Um/R. Folosind relaţiile (2.7) şi (2.8) pentru valorile efective, avem:
/ =—. (2.11)
R
Relaţia (2.11) coincide după formă cu legea lui Ohm (2.10), însă tensiunea şi intensitatea reprezintă valorile efective ale mărimilor alternative respective.
In figura 2.6, b sînt reprezentate graficele tensiunii şi intensităţii curentului alternativ în funcţie de faza cof. Se observă că aceste mărimi oscilează în aceeaşi fază, adică defazajul lor este nul. Atît intensitatea curentului, cît şi tensiunea ating valorile lor maxime la aceleaşi momente.
Diagrama fazorială în acest caz este foarte simplă (fig. 2.6, c). Se alege o direcţie arbitrară (linia întreruptă), de-a lungul căreia se depune vectorul intensităţii curentului de modul egal cu valoarea maximă Im. Întrucît tensiunea u şi intensitatea curentului i oscilează în fază (fig. 2.6, b), vectorul tensiunii de modul egal cu valoarea maximă Um%,, trebuie orientat de-a lungul aceleiaşi direcţii.
c. Bobină ideală în curent alternativ
Considerăm o bobină ideală de inductanţă L, conectată la sursa de tensiune alternativă u de forma
(2.9) . Prin circuitul format (fig. 2.7, a) circulă un curent i de asemenea alternativ, descris de relaţia (2.6), la trecerea căruia prin bobină se produce fenomenul de autoinducţie. Astfel, de rînd cu tensiunea de alimentare u, în circuit mai acţionează şi t.e.m. de autoinducţie (1.22), adică:
yk
A ''
■A?» L
Fig. 2.5
28
Aici este derivata intensităţii curentului i în raport cu timpul t.
Menţionăm că notaţia y folosită la matematică este echivalentă cu ~ şi semnifică derivata funcţiei y în raport cu coordonata x.
După derivarea expresiei (2.6) în raport cu timpul şi folosind relaţia matematică cos cot = sin (cot + -^-), avem:
ea = -ImO)L cos cot = -Im(s>L sin | cot +
Din relaţiile (2.9) şi (2.12) rezultă că:
(2.12)
în circuitul de curent alternativ bobina se comportă ca un generator de tensiune^iazalfăreia este în avans cu tc/2 fată de cea de alimentare.
Prin analogie cu (2.10), legea lui Ohm pentru circuitul cercetat poate fi scrisă sub forma: u + e
i =-----— sau u + ec - iR.
R /
Deoarece rezistenţa bobinei se neglijează (ea este considerată ideală),
rezultă că „ n
u + ea = 0. (2.13)
Introducînd (2.12) în (2.13), obţinem tensiunea instantanee din circuit şi, totodată, de la bornele bobinei:
unde
u = uL= -ea= Im«>L sin
U =1 (oL
f 71 ^
= U sin
GOf H---
co t + —
v 2)
m
v 2 J
(2.14)
prezintă valoarea maximă sau de amplitudine a tensiunii la bornele bobinei, care poate fi prezentată prin valorile efective sub forma:
j = (oL. (2.15)
Din comparaţia relaţiei (2.15) cu legea lui Ohm pentru curentul continuu (2.10), rezultă că produsul dintre inductanţă şi pulsaţie are semnificaţia unei rezistenţe. într-adevăr, în SI avem:
[coZl = s-'-H= — = — = n.
L J s-A A
Bobina introduce în circuitul de curent alternativ o rezistenţă aparentă XL, numită reactanţă inductivă
XL = aL. (2.16)
Din (2.15) şi (2.16) rezultă
I ’ /=—• (2-17)
Aceasta este legea lui Ohm pentru circuitul compus dintr-o bobină ideală în curent alternativ.
Din relaţiile (2.14) şi (2.6) rezultă, iar din reprezentarea lor grafică (fig. 2.7, b) se observă că faza tensiunii cp„ o avansează pe cea a intensităţii (p, cu tc/2. Deci
a n n
A<p = cpM - (p. = mt + — - col = —
Iîn circuitul de curent alternativ bobina creează un defazaj al tensiunii în avans cu tc/2 faţă de intensitate.
Q) Ur-JL
qUq
Fig. 2.6
a) L
------^Qll o—
b)
0
um,L
K
Fig. 2.7
i
29
In figura 2.7, c este reprezentată diagrama fazo- rială a acestui circuit. Pe direcţia aleasă arbitrar (linia întreruptă) este depus fazorul intensităţii curentului Im, iar fazorul tensiunii Um?L este aplicat sub un unghi de 90°, luat în sens trigonometric faţă de intensitatea curentului.
I
d. Condensator ideal fn curent alternativ
Considerăm circuitul reprezentat în figura 2.8, a. S-a menţionat deja că unicul efect al tensiunii continue aplicate la bornele condensatorului este încărcarea acestuia pînă la o diferenţă de potenţial egală cu tensiunea sursei. Evident, în decursul încărcării (descărcării) condensatorului, în circuit există un curent de foarte scurtă durată care însă dispare odată cu terminarea procesului de încărcare (descărcare). Rezultă că, pentru menţinerea unui anumit curent în circuitul studiat, trebuie să asigurăm un proces continuu de încărcare-descărcare a condensatorului, adică de variaţie a sarcinii de pe armăturile lui. Cu cît acest proces se desfăşoară mai rapid, cu atît intensitatea curentului din circuit este mai mare.
Fie q sarcina de pe armăturile condensatorului la un moment oarecare al procesului de încărcare (descărcare) a lui. Luînd în considerare că sarcina ce se acumulează pe armăturile condensatorului este egală cu produsul dintre tensiunea de încărcare şi capacitatea lui (q = uC), pentru intensitatea curentului obţinem:
. = iL=d<MQ=cdu '
dt dt dt
Intensitatea curentului care parcurge circuitul format dintr-un condensator ideal este egală cu produsul dintre capacitatea iui şi viteza de variaţie a tensiunii alternative aplicate.
Din (2.18) reiese că în cazul tensiunii constante la bornele condensatorului derivata este nulă, iar odată cu ea şi intensitatea curentului i = 0, adică condensatorul întrerupe circuitul de curent continuu. Dacă însă circuitul este alimentat cu o tensiune variabilă în timp, de exemplu alternativă, de forma
(2.9), atunci, după cum rezultă din (2.18), intensitatea curentului din circuit este:
i = UmcoC cos cot = UaC sin
^ 7lD cot+ — 2
: /„ sin
oo t + -
(2.19)
unde
V
•J
--UmC
prezintă valoarea maximă sau de amplitudine a intensităţii curentului alternativ din circuit. Exprimînd valorile maxime prin cele efective, relaţia precedentă se poate prezenta sub forma:
(2.20)
U _ 1 / ~~ ooC’
din care rezultă că mărimea inversă produsului dintre pulsaţia tensiunii alternative şi capacitatea condensatorului are semnificaţia unei rezistenţe. într-adevăr, în SI avem:
oo C
s-1 • F
C A
Condensatorul introduce în circuitul de curent alternativ o rezistenţă aparentă Xc, numită reac- tanţă capacitivă
(2.21)
Legea lui Ohm pentru circuitul de curent alternativ care conţine numai un condensator ideal are acelaşi aspect ca şi în cazul curentului continuu (2.10), dar cu altă semnificaţie a mărimilor respective:
/ = —. (2.22)
Din relaţiile (2.9), (2.19) şi figura 2.8, b, unde acestea sînt reprezentate grafic, se observă că tensiunea şi intensitatea curentului din circuitul cu condensator de asemenea sînt defazate una faţă de alta, şi anume:
Acp = cpM-cp;. = cot-cot-
71
~2
în circuitul de curent alternativ condensatorul creează un defazaj al tensiunii în devans cu rt/2 faţă de intensitatea curentului.
Astfel, dacă în circuitul din figura 2.8, a circulă un curent i = /,„ sin cot, atunci tensiunea la bornele lui şi totodată la bornele condensatorului, fiind defazată cu tc/2 în urmă faţă de intensitate, va avea aspectul
71 I 71
u = uc- Um sin (cot —) = —— sin (cot —).
2 coC 2
Diagrama fazorială, reprezentată în figura 2.8, c pentru circuitul cu condensator ideal, se deosebeşte de cea cu bobină ideală numai prin sensul fazorului tensiunii UmX. în acest caz el se construieşte tot sub un unghi de 90° faţă de fazorul intensităţii curentului Im, dar în sens opus celui trigonometric.
e. Circuite RLC serie în curent alternativ. Legea lui Ohm
Elementele de circuit, considerate anterior, în mod individual pot forma diferite combinaţii prin legarea lor în serie, în paralel sau mixt. Considerăm circuitul serie în curent alternativ reprezentat în figura 2.9, care este format din rezistorul de rezistenţă R, bobina de inductanţă L şi condensatorul de capacitate C. Dacă la bornele acestui circuit se aplică o tensiune alternativă de pulsaţie co, atunci prin elementele circuitului se stabileşte un curent alternativ de aceeaşi pulsaţie i = Im sin cot.
Pe fiecare element al circuitului se produce o cădere de tensiune proporţională cu rezistenţa sau reactanţa lor. în circuitul serie, suma acestora trebuie să fie egală cu tensiunea de la bornele lui. Astfel, la orice moment de timp, pentru valorile instantanee ale tensiunilor are loc relaţia
uR+uL+uc= u, (2.23)
unde uR, uL şi uc sînt tensiunile pe elemente respective de circuit, care, după cum reiese din paragrafele precedente, au valorile:
uR = ImRs\no)t,
u, = / coZsin
L m
coC
-sin
^ 7C^
cot + —
, 2y
(2.24)
cot
V 2y
reprezentate grafic, respectiv, în figurile 2.6, b, 2.7, b şi 2.8, b. Deoarece fazele acestor tensiuni sînt diferite, între tensiunea de la bornele circuitului şi intensitatea curentului stabilit prin el va exista un defazaj cp, care poate lua valori atît pozitive şi negative, cît şi zero. Dacă faza intensităţii curentului se ia ca referinţă, atunci tensiunea este caracterizată de faza cot -i- cp, adică
u = Um sin (cot +cp). (2.25)
Folosind definiţiile reactanţelor inductivă şi capacitivă, după introducerea relaţiilor (2.24) şi (2.25) în (2.23) obţinem:
Um sin (co t + cp) = RIm sin co t + XLIm sin
f ~\
n
COt H---
V 2y
+ AcJmsin
sau
f tC'
cot—
V 2
(2.26)
%Jm sin (cot + cp )=Um,R sin oot + UmiL sin cot + — +[7m,csin cot-— , (2.27)
unde
Um,R — RIm, UmiL— XL Im — coLIm, UmiC-XcIm-Im/aC (2.28)
sînt, respectiv, tensiunile maxime pe rezistor, bobină şi condensator.
Pentru adunarea termenilor din partea dreaptă a ecuaţiei (2.26) sau (2.27) se poate folosi metoda analitică, însă mult mai simplă este metoda diagramelor fazoriale. De-a lungul direcţiei de referinţă, aleasă arbitrar (linia întreruptă), se depune fazorul intensităţii curentului Im şi cel al tensiunii pe rezistor Um>R. Fazorii Um L şi Um,c se depun din aceeaşi origine pe direcţia luată sub un unghi de tt/2 faţă de cea de referinţă în sens
2
Um,c
Fig. 2.8
RLC
Fig. 2.9
31
a)
trigonometric şi, respectiv, în sens opus (fig. 2.10). Întrucît fazorii UL şi Uc au faze opuse, modulele lor reprezintă doi termeni concurenţi, care determină aspectul diagramei fazoriale. Sînt posibile trei situaţii:
1) Um,L > Um,c, adică a>L > 1/coC. în acest caz se spune că circuitul este preponderent inductiv. Pe diagrama fazorială, din figura 2.10, a se observă că tensiunea Um, care reprezintă fazorul rezultant, este în avans de fază cu unghiul (p faţă de intensitatea curentului, adică cp > 0.
2) Um, c > Uni:L, adică l/co C > coZ, - circuitul este preponderent capacitiv. Diagrama fazorială este reprezentată in figura 2.10, b. în acest caz, tensiunea Um este în devans de fază cu unghiul (p faţă de intensitatea curentului I, adică cp < 0.
Din AAOB al diagramelor fazoriale reprezentate in figura 2.10, numit şi triunghiul tensiunilor, rezultă:
um=Ju2R+(um,L-umXf
Folosind relaţiile (2.28) şi trecînd la valorile efective ale intensităţii curentului I (2.7) şi tensiunii U (2,8), avem:
U r U
sau / =
R2 +
coL-
1
co C
■sJr2 + (xl-xc)2
(2.29)
Relaţiile (2.29) reprezintă legea lui Ohm pentru circuitul de curent alternativ RLC serie. Expresia din numitorul acestor relaţii constituie rezistenţa totală a circuitului în curent alternativ şi este numită impedanţă. Notînd impedanţa cu
R2 +
f , o
coL-------
r
sau Z = J
V co C )
V
(2.30)
legea lui Ohm capătă un aspect simplu:
U
/ = -
(2.31)
Defazajul dintre tensiune şi intensitatea curentului din circuit se determină uşor din acelaşi triunghi al tensiunilor (fig. 2.10):
tgy = UmJ~UmX
a
m, R
sau, înlocuind tensiunile din (2.28), obţinem:
tg<P
X -X„
R
(2.32)
3) UL- Uc, adică coL - 1/toC. în această situaţie efectele inductiv şi capacitiv se compensează reciproc, iar defazajul dintre tensiune şi intensitatea curentului (p = 0 (fig. 2.10, c).
Prin eliminarea sau adăugarea (vezi problema rezolvată nr. 3, p. 34) de elemente în circuitul din figura 2.9, se obţin şi alte circuite serie. Astfel, din (2.29) şi (2.32) obţinem următoarele cazuri particulare: pentru circuitul RL (Xc = 0):
1 =
U
Vr2+*l'1
tgcp =-
X,
R
(2.33)
32
(2.34)
pentru circuitul RC (XL = 0): j U
I= I 2 ^
fiR2+xc
,*c
R
pentru circuitul LC (R = 0):
I= |yrj _x ^ ±00’ (P-*-'2• (2-35)
Diagramele fazoriale pentru aceste circuite serie sînfireprezentate in figura 2.11, a, b, c, corespunzător. Dacă în diagramele din figura 2.10 a fost folosită regula paralelogramului pentru adunarea vectorilor, atunci în cele din figura 2.11 s-a aplicat regula triunghiului.
f. Rezonanta tensiunilor.
s
Factorul de calitate
Să analizăm legea lui Ohm (2.29) din punctul de vedere al variaţiei pulsaţiei o sau al frecvenţei .v = co/2tt. Indiferent de valorile inductanţei L şi capacităţii C, întotdeauna se poate găsi o astfel de pulsaţie (frecvenţă), pentru care reactanţele inductivă şi capacitivă vor fi egale. In figura 2.12 este reprezentată intensitatea curentului I (2.29) în funcţie de pulsaţia co. Se observă că în vecinătatea unei pulsaţii wr intensitatea curentului creşte brusc şi pentru od = cor devine maximă. Acest fenomen este numit rezonanţă, iar frecvenţa la care acesta se produce este numită frecvenţă de rezonanţă.
Din egalitatea reactanţelor capacitivă şi inductivă XL = XC rezultă că od2 = 1 /LC, de unde pentru pulsaţia şi frecvenţa de rezonanţă obţinem:
(D„
sau v.
1
(2.36)
VZc Vr 2tiVZc'
înlocuind în legea lui Ohm (2.29) pulsaţia od cu cea de rezonanţă CDr din relaţia (2.36), obţinem valoarea curentului de rezonantă: /
% I, = f ■ (2.37)
Astfel, cu cît este mai mică rezistenţa circuitului R, numită şi rezistenţă activă, cu atît curba de rezonanţă este mai ascuţită, iar intensitatea curentului la rezonanţă - mai mare.
Din figura 2.10, c se observă că pentru realizarea rezonanţei este necesară egalitatea tensiunilor pe bobină şi condensator, oricare ar fi valorile lor. Să determinăm aceste tensiuni în condiţii de rezonanţă. Introducînd (2.36) şi (2.37) în (2.28) pentru cele două tensiuni, obţinem:
UL,
' ®rLIr ~
1 L
R\C
U,
u =
c’r coC R\c
(2.38)
Observăm că tensiunile de la bornele bobinei şi de la cele ale condensatorului devin maxime, iar valorile lor sînt cu atît mai mari, cu cît rezistenţa circuitului este mai mică. Din această cauză, rezonanţa în circuitele serie mai este numită rezonanţa tensiunilor.
Raportul
8 =
U T
u,
u
C,r
u
(2.39)
arată de cîte ori tensiunea de la bornele bobinei sau condensatorului este mai mare decît tensiunea de alimentare a unui circuit serie în regim de rezonanţă şi se numeşte factor de calitate sau factor de supratensiune.
Fenomenul de rezonanţă în circuitele RLC serie are o importanţă deosebită în radiotehnică. Dacă în circuit se utilizează un condensator de capacitate variabilă sau/şi o bobină de inductanţă variabilă, atunci din (2.36) rezultă că circuitul poate fi acordat la diferite frecvenţe de rezonanţă. Astfel, de exemplu, se realizează acordarea aparatelor de radio şi a televizoarelor la frecvenţa staţiei preferate.
Există însă şi situaţii cînd sînt necesare măsuri pentru înlăturarea rezonanţei. De exemplu, în instalaţiile pentru transportarea şi utilizarea curentului electric alternativ, apariţia supratensiunilor poate genera descărcări electrice între spirele bobinelor din transformatoare sau între armăturile condensatoarelor şi, prin urmare, defectarea acestora.
33