NOŢIUNE DE DINAMICĂ RELATIVISTĂ

19:15 0 Comments

Majoritatea problemelor de dinamică clasică se rezolvă în baza principiului fundamental al dinamicii sub forma: ma = F. Această relaţie este în contradicţie cu al doilea postulat al teoriei relativităţii restrînse. într-adevăr, corpul de masă m, asupra căruia acţionează forţa constantă F, se mişcă uniform accelerat cu acceleraţia a = const. Viteza corpului creşte odată cu timpul şi poate atinge valori mai mari decît viteza luminii în vid c, ceea ce nu concordă cu teoria relativităţii restrînse.
în mecanica clasică este cunoscută şi o altă formă a principiului fundamental al dinamicii. Dacă se introduce noţiunea de impuls al corpului
p = mv, _^ (4.18)
se foloseşte definiţia acceleraţiei a = — si se tine cont
’ ’ ’ dt ’
de faptul că în mecanica clasică masa corpului este
constantă, se obţine legea variaţiei impulsului:
dp
dt
■ F
(4.19)
în cadrul mecanicii clasice formulările ma = F şi (4.19) sînt echivalente, dar în teoria relativităţii restrînse prima din ele nu este valabilă.
Einstein a stabilit că legea de bază a dinamicii relativiste este exprimată de relaţia (4.19), în care impulsul corpului este definit prin formula (4.18), dar cu o deosebire esenţială de cea din dinamica clasică:
masa corpului nu mai este constantă, ci dependentă de viteză. Această dependenţă are forma:
m n
”= I °. (4.20)
Vl-u /c
unde m0 este masa de repaus a corpului, masa în sistemul de referinţă în care corpul se află în repaus. Masa m este numită masă relativistă1.
Substituind (4.20) în (4.18), obţinem expresia pentru impulsul relativist:
E=T^=r> (4.21)
Vl-v Ic
iar introducînd (4.21) în (4.19), stabilim legea
fundamentală a dinamicii relativiste:
, r -+ \
d mn V -*
— — =F. (4.22)
dtU\-v1 2lc2 J
în baza acestei legi se demonstrează că viteza particulei cu masa de repaus m0 poate fi mărită pînă la valori destul de apropiate de viteza luminii în vid c, dar ea nu poate deveni egală cu c, masa m crescînd nelimitat.
La viteze mici: v « c, neglijînd termenul u2/c2, în comparaţie cu unitatea, din (4.20) obţinem m = m0, adică la astfel de viteze masa corpului este constantă şi legea relativistă (4.22) trece în expresia obişnuită a principiului fundamental al dinamicii clasice.
Einstein a stabilit, de asemenea, relaţia universală dintre energia totală a corpului E şi masa lui m, interdependenţa dintre masă şi energie:
E = mc2. (4.23)
în cazul corpului aflat în repaus, energia lui
E0 = m0c2 (4.24)
este numită energie de repaus.
Aceste relaţii denotă faptul că variaţiei masei Am îi corespunde neapărat variaţia de energie AE, determinată de relaţia:
AE = Am-c2. (4.25)
Importanţa deosebită a relaţiei respective va fi ilustrată ulterior prin aplicări în fizica nucleului atomic şi a particulelor elementare.
Din formulele (4.18) şi (4.23), prin excluderea masei, obţinem o relaţie importantă dintre impulsul relativist şi energia totală:
P=^v. (4.26)
c
Viteza corpului, energia totală şi impulsul relativist sînt mărimi relative, se modifică la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la altul.
Să demonstrăm însă existenţa unei mărimi absolute (invariante), aceeaşi în toate sistemele de referinţă inerţiale.
Ridicînd expresia (4.20) la pătrat, obţinem:
m2 (l-v2 /
După înmulţirea la c4, căpătăm:
2 4 2 2 2 2 4
mc —cmv = m0c ,
iar ţinînd seama de relaţiile (4.23) şi (4.18), obţinem:
E2-c2p2=m20c\ (4.27)
1 în prezent, în fizica teoretică se manifestă tendinţa de a nu utiliza noţiunea de masă relativistă m, ci de a numi
masă a corpului masa lui de repaus m0, una şi aceeaşi în toate sistemele de referinţă inerţiale.
77
Mărimea din partea dreaptă a egalităţii este o constantă, adică nu depinde de sistemul de referinţă ales. Deci mărimea din partea stingă a egalităţii este aceeaşi în orice sistem de referinţă inerţial şi este o mărime invariantă:
E2 — c2 p2 — inv. (4.28)
Să analizăm următorul caz: mişcarea cu viteza v-c, adică avînd viteza egală cu viteza luminii în vid.
__ E
Din (4.26) avem p = —. Substituind această valoare c
în relaţia (4.27), obţinem m2c4 = 0, de unde rezultă m0 = 0. Prin urmare cu viteză egală cu c se pot mişca doar particule avînd masa de repaus nulă.
Ulterior vom lua cunoştinţă de asemenea particule.
Să deducem expresia relativistă pentru energia cinetică. Particula aflată în repaus posedă energia de repaus E0 = m0c2, iar în mişcare - energia totală E= mc2. Aşadar energia cinetică a ei este egală cu diferenţa acestor energii:
Ec=E-E0=(m-m0)c2 =i
.(4.29)
,Vl-V2 Ic2
Să demonstrăm că la viteze mici expresia pentru energia cinetică relativistă (4.29) trece în expresia m i)2
bine cunoscută Ec = —4—. în acest scop vom folosi formule ale calculului aproximativ:
Vl± x ~ 1 ±-^
pentru x «1.
De justeţea acestei formule aproximative ne convingem ridicînd la pătrat şi neglijînd termenul de ordinul x2, care este mult mai mic decît unitatea.
O altă formulă este
1
1 + x
1 ± x
pentru x «1.
Aducînd la numitor comun şi neglijînd termenul de ordinul x2, ne convingem de justeţea formulei.
Folosind aceste formule de calcul aproximativ, obţinem:
1
1
VĂ
v2/c2
1 +
1-
2 c2
2 c2
Substituind această valoare aproximativă în formula
(4.29), avem Ec
m0v
-, ceea ce trebuia de demonstrat.
Astfel, am stabilit că la viteze v « c formulele teoriei relativităţii restrînse, care sînt mai generale, trec în formulele respective ale mecanicii clasice. Cu alte cuvinte, mecanica clasică este un caz particular al mecanicii relativiste. Acest exemplu ilustrează principiul de corespondenţă, în conformitate cu care orice teorie nouă, considerată mai profundă, mai generală, cu un domeniu mai larg de aplicabilitate decît teoria veche, trebuie să o includă pe aceasta, ca un caz limită, particular.
în final menţionăm o proprietate deosebită a sarcinii electrice: valoarea ei nu se modifică la trecerea de la un sistem de referinţă la altul, ea nu depinde de viteză. Astfel, sarcina electrică este mărime invariantă.
1. Principiul fundamental al dinamicii clasice este exprimat de două relaţii echivalente: ma=F, şi
— = F. Care dintre acestea nu corespunde posturi
latelor lui Einstein? Argumentaţi răspunsul.
2. Impulsul relativist este mai mare sau mai mic decît impulsul aceleiaşi particule, calculat conform definiţiei din mecanica clasică? în ambele cazuri viteza particulei ia una şi aceeaşi valoare.
3. Care este relaţia universală dintre masă şi energie?
4. Cum se defineşte energia cinetică în cadrul teoriei relativităţii restrînse?
5. Care este esenţa principiului de corespondenţă?
6. Ce cantitate de cărbune, care are puterea calorică egală cu 2-107 J/kg, trebuie arsă pentru a obţine o cantitate de căldură egală cu energia ce corespunde masei de repaus, egale cu 1g?
7. Ce cantitate de apă poate fi încălzită de la 20 pînă la 100°C, consumînd în acest scop cantitatea de căldură egală cu energia de repaus a corpului cu masa de 1 mg? Căldura specifică a apei este egală cu 4 200 J/(kg • K).
8. La ce valoare a vitezei unei particule energia cinetică a ei este de două ori mai mare decît energia de repaus?