SPAŢIUL SI TIMPUL ÎN TEORIA RELAT0W1TATI1 RESTRÎNSE

19:12 0 Comments

a. Relativitatea simultaneităţii
9
O noţiune importantă în teoria relativităţii este cea de eveniment. Orice fenomen fizic se produce într-o regiune a spaţiului într-un anumit interval de timp. în cazul în care regiunea spaţiului şi intervalul de timp sînt foarte mici, fenomenul este numit eveniment. Acesta constituie un model ideal, care admite că fenomenul are loc într-un punct al spaţiului şi la un moment de timp.
I Evenimentele care se produc în acelaşi timp se numesc simultane.
Să analizăm noţiunea de simultaneitate în cadrul teoriei relativităţii restrînse în baza unui experiment mental.
Se consideră două sisteme de coordonate: sistemul Oxyz, considerat imobil, şi sistemul O'x'y'z', care sînt părţi componente ale sistemelor de referinţă inerţiale S şi S'. Admitem că sistemul O'x'y'z' se mişcă faţă de sistemul Oxyz cu viteza constantă u, paralelă cu axa Ox şi că la un moment iniţial de timp, comun pentru ambele sisteme, axele acestora coincid. în timpul mişcării axa O'x! alunecă pe axa Ox, axa O'y' rămîne paralelă cu Oy
71
şi O'z' - paralelă cu Oz (fig. 4.2). Ulterior se vor avea în vedere anume asemenea sisteme de referinţă inerţiale.
Considerăm în sistemul S' o tijă AD paralelă cu axa O'x', deci şi cu Ox. în sistemul S' tija se află în repaus şi se mişcă faţă de sistemul S cu viteza constantă u orientată de-a lungul ei. La mijlocul tijei se află un becuşor de incandescenţă B, care se mişcă împreună cu ea (fig. 4.2, a).
Se presupune că la un moment becuşorul B se aprinde pentru un interval foarte scurt de timp şi emite un impuls de lumină. Conform postulatului al doilea al lui Einstein, lumina se propagă în toate direcţiile cu aceeaşi viteză c faţă de ambele sisteme de referinţă. Drept evenimente a şi d se consideră ajungerea luminii la capetele AşiD ale tijei. Evenimentele a şi d se produc în puncte diferite ale spaţiului, adică sînt separate spaţial.
y
y
u
y'
M
©
■///////////Zv/cA
r;
Ay=Ay
L.
Ay
B $
WWM/7K:
77777n7777T
x x'
0
x'
O
o
Fig. 4.3
Fig. 4.4
Să analizăm evenimentele a şi d din punctul de vedere al observatorului aflat în repaus în sistemul S'. Becuşorul se află la mijlocul tijei în repaus, iar lumina parcurge pînă la capetele ei distanţe egale. Viteza de propagare în ambele sensuri este aceeaşi, de aceea intervalele de timp în care lumina parcurge distanţele pînă la capetele tijei sînt egale. Prin urmare în sistemul de referinţă inerţial S' evenimentele a şi d se produc la acelaşi moment de timp, adică sînt simultane.
Se consideră evenimentele a şi d din punctul de vedere al observatorului, care se află în repaus în sistemul inerţial S. Faţă de acest sistem tija se deplasează cu viteza u, astfel încît capătul A se apropie de poziţia în care becuşorul a emis impulsul de lumină, iar capătul D se îndepărtează de această poziţie (fig. 4.2, b). Deoarece viteza luminii în ambele sensuri este aceeaşi, intervalul de timp în care lumina ajunge la capătul A al tijei este mâi mic decît cel în care ea ajunge la capătul D. Deci pentru observatorul din S evenimentul a se produce înaintea evenimentului d şi aceste evenimente nu sînt simultane. Exemplul respectiv demonstrează că:
evenimentele separate spaţial şi simultane într-un sistem de referinţă inerţial nu sînt simultane în alte sisteme inerţiale, adică simultaneitatea este relativă.
Concluzia privind caracterul relativ al simultaneităţii evenimentelor denotă că în teoria relativităţii timpul nu este absolut.
b. Relativitatea Intervalelor de timp
Pentru a stabili relaţia dintre intervalele de timp în diferite sisteme de referinţă inerţiale, se consideră cele două sisteme inerţiale S şi S', sistemul S fiind imobil, iar sistemul S' mişcîndu-se faţă de S cu viteza constantă u, paralelă cu axa Ox.
Admitem că în sistemul S' se află fixat un ceasornic de construcţie specială: două oglinzi cu feţele reflectoare una spre alta, paralele atît între ele, cît şi cu planul de coordonate O'x'z' (fig 4.3). în figură nu sînt reprezentate axele Oz şi O'z' perpendiculare pe planul ei. Printr-o modalitate anumită, dintr-un punct al unei feţe a unei oglinzi, este emis un impuls de lumină de scurtă durată.
Să analizăm funcţionarea ceasornicului în sistemul S', în care el se află în repaus. Impulsul de lumină, ce cade perpendicular pe oglinda superioară, se reflect;
72
spre oglinda inferioară, de la care se reflectă spre cea superioară etc. (fig. 4.4). Impulsul efectuează o mişcare periodică între oglinzi similară unui pendul, sotăm cu x' perioada de „oscilaţie” a impulsului de lumină faţă de observatorul din Sîn acest interval de timp, lumina parcurge cu viteza c distanţa Ay'
dintre oglinzi de două ori. Prin urmare x' = - ^~V , de unde rezultă că: , c
Ay'= —cx'. (4.5)
Să cercetăm funcţionarea acestui ceasornic din sunetul de vedere al observatorului aflat în sistemul S, faţă de care ceasornicul se mişcă cu viteza constantă î, paralelă cu axa Ox şi cu oglinzile. Notăm cu x intervalul de timp în care lumina se propagă de la oglinda inferioară pînă la cea superioară şi înapoi. Ţinem seama de faptul că în timpul x /2 în care lumina se propagă de la oglinda inferioară pînă la cea superioară, ceasornicul se deplasează în direcţia axei Ox la o distanţă egală cu ux /2. în figura 4.5 sînt reprezentate trei poziţii succesive ale ceasornicului corespunzătoare momentelor de timp în care lumina ajunge de fiecare dată la oglinda următoare, parcur- gind în timpul x /2 distanţa cx 12. După cum se vede cin figură, pătratul distanţei dintre oglinzi este:
le unde rezultă:
Ay = —x Vc2 — u2. (4.6)
Dimensiunile transversale (în direcţii perpendiculare pe viteza u) nu se modifică la trecerea de la :n sistem inerţial la altul, adică Ay = Ay'. Egalînd expresiile din partea dreaptă a relaţiilor (4.5) şi (4.6), >btinem: ,
’ T
Vi — u2/ c2
(4.7)
Acest rezultat arată că intervalul de timp dintre două evenimente este relativ, luînd valori diferite n sisteme inerţiale diverse. Evident, x'<x, adică interului de timp este minim în sistemul de referinţă S', aţă de care locul unde se produc evenimentele este lx, adică pentru observatorul faţă de care eveni- nentele se produc în acelaşi punct - după fiecare •erioadă x' impulsul de lumină se întoarce în punctul £ la care a plecat. Faţă de sistemul de referinţă S, onsiderat fix, aceste două evenimente se produc nsă în puncte diferite ale spaţiului.
Astfel,
intervalul de timp dintre două evenimente este minim în sistemul de referinţă faţă de care ele se produc în acelaşi punct.
Pentru observatorul în raport cu care locul unde se produc evenimentele se mişcă, intervalul de timp x dintre aceleaşi evenimente este mai mare, timpul decurge mai lent şi are loc dilatarea duratei, adică încetinirea timpului. Această încetinire este proprie tuturor proceselor care au loc în sistemul S', inclusiv celor din organismele vii.
c. Relativitatea dimensiunilor longitudinale
Mai sus s-a menţionat că dimensiunile transversale ale corpurilor, adică perpendiculare pe viteza mişcării, rămîn aceleaşi la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la altul. Pentru a determina care este situaţia în cazul dimensiunilor longitudinale, să analizăm un alt experiment mental.
E BINE SĂ MAI ŞTIŢI
Existenţa reală a încetinirii timpului a fost confirmată experimental prin observări din lumea particulelor elementare, în natură există o particulă elementară numită miuon, a cărei masă este de aproximativ 207 ori mai mare decît cea a electronului. Ea este nestabilă şi are, în sistemul de referinţă faţă de care se află în repaus, un timp mediu de viaţă de circa 2,2-10-5 s (după acest timp ea se transformă în alte particule elementare). Dacă miuonul s-arfi mişcat cu viteză egală aproximativ cu viteza luminii în vid (3-108 m/s), în acest timp ar fi parcurs o distanţă de circa 660 m. S-a constatat că miuonii apar şi în straturile superioare ale atmosferei sub acţiunea radiaţiei cosmice, care permanent bombardează Pămîntul. Miuonii parcurg pînă la suprafaţa Pămîntului distanţe egale cu grosimea atmosferei, adică distanţe de zeci de kilometri, mult mai mari decît distanţa calculată mai sus. Faptul în cauză poate fi explicat numai dacă luăm în considerare încetinirea timpului; durata medie de viaţă a miuonilor în sistemul de referinţă legat cu Pămîntul, faţă de care ei se mişcă cu viteze mari, este mult mai mare decît 2,2-10"6 s, în acest timp ei parcurgînd distanţe de zeci de kilometri.
73
Să ne imaginăm din nou cele două sisteme de referinţă inerţiale, S şi Sunde sistemul S este considerat imobil, iar sistemul S' se mişcă faţă de S cu viteza constantă u, paralelă cu axele Ox şi O'x'. Admitem că în sistemul S' este fixată o riglă rigidă BD, paralelă cu axa O'x'. La capătul B al riglei este fixat un becuşor electric, iar la capătul D - o oglindă mică, planul reflector al căreia este perpendicular pe axa O'x' şi reflectă spre becul B lumina emisă de acesta (fig 4.6).
Notăm cu l lungimea riglei măsurată de observatorul din sistemul imobil S şi cu /' lungimea riglei măsurată de observatorul din sistemul S', în raport cu care rigla este în repaus. Fie că la un anumit moment becuşorul B emite un impuls de lumină de scurtă durată. Să determinăm intervalele de timp x şi x' în care impulsul de lumină se propagă de la becuşor pînă la oglinda D şi înapoi, faţă de sistemele S şi S'. Vom ţine seama de postulatul al doilea al lui Einstein.
Faţă de observatorul din S' rigla este în repaus şi impulsul de lumină parcurge distanţa 21 în intervalul de timp: 9 v
%' =—. (4.8)
c
Să calculăm intervalul de timp respectiv x faţă de sistemul de referinţă imobil S. Notăm cu x, intervalul
a)
b)
B,
i
-crr
D
-CT,
A
9 UT2 I
Fig. 4.7
de timp în care impulsul de lumină parcurge distanţa de la bec pînă la oglindă şi cu % timpul în care impulsul parcurge distanţa de la oglindă pînă la bec. Timpul căutat x = x, + x2. în intervalul de timp x, lumina parcurge distanţa cx,, egală cu lungimea riglei / plus distanţa ux, pe care a parcurs-o rigla în acest interval de timp (în figura 4.7 sînt reprezentate poziţiile a) şi b) ale riglei la începutul şi la sfîrşitul intervalului). Avem cx, = l + mx„ deci
x, =------.
c-u
în intervalul x2 lumina parcurge distanţa cx2, egală cu lungimea riglei l minus distanţa ux2 parcursă de bec în întîmpinarea luminii (în fig. 4.7 poziţia b) a riglei corespunde începutului acestui interval, iar poziţia c) momentului de timp la care lumina ajunge la bec). Prin urmare ^
cx2 = l - ux2, deci x2 =------.
c + u
Pentru intervalul de timp x obţinem:
/ / 2 Ic
x=Tl + z1=----+----= ~5----7
c-u c + u c -u
21
c(l-M2 /C2)
. (4.9)
Intervalele de timp x şi x' satisfac relaţia (4.7), din care rezultă relaţia dintre lungimile riglei l şi /' în sistemele de referinţă inerţiale S şi S':
l = l’4\-u Ic2. (4.10)
Acest rezultat denotă că dimensiunile longitudinale sînt relative, ele modificîndu-se la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la altul.
Din relaţia (4.10) reiese că / < /', adică lungimea riglei, deci orice dimensiune longitudinală, are valoarea cea mai mare în sistemul de referinţă faţă de care ea se află în repaus. Această valoare V este numită, de obicei, lungime proprie.
Dimensiunile longitudinale ale corpurilorîn sistemele de referinţă, faţă de care ele se mişcă sînt mai mici decît dimensiunile proprii. Are loc contracţia lungimilor.
Acest rezultat, precum şi cel referitor la intervalele de timp, se află în acord complet cu postulatul întîi al lui Einstein.
Rezumînd cele expuse, conchidem că
în teoria relativităţii restrînse spaţiul şi timpul nu mai sînt absolute: intervalele de timp şi dimensiunile corpurilor se modifică la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la altul.
Relaţiile cantitative (4.7) şi (4.10) conţin expresia Vl-u21c2, ceea ce indică faptul că relativitatea
74
menţionată se manifestă la viteze u, care iau valori comparabile cu viteza luminii în vid c. Efectele care au loc la astfel de viteze sînt numite relativiste.
La viteze mici u«c din relaţiile (4.7) şi (4.10) rezultă, cu un grad înalt de precizie, că x = x' şi l - deci la viteze mici spaţiul şi timpul pot fi considerate absolute, adică sînt valabile legile mecanicii newtoniene.
Mărimile fizice, precum intervalul de timp şi lungimea sînt mărimi reale, deci expresia de sub radicalul \J\-u2/c2 nu poate fi negativă, adică viteza u poate lua doar valori care nu depăşesc viteza luminii în vid c. Rezultă că viteza c este viteza limită de transmitere a interacţiunilor în natură şi de mişcare a corpurilor.
Verificaţi-vă cunoştinţele
1. Care este semnificaţia fizică a noţiunii de eveniment?
2. în experimentul mental, reprezentat în figura 4.2, observatorul din sistemul de referinţă S constată că lumina emisă de becuşorul B ajunge mai întîi la capătul A al tijei, apoi la capătul D. Considerăm că sistemul 5' se mişcă faţă de sistemul 5 cu viteza (-u). Ce constată în acest caz observatorul din sistemul S?
3. în ce constă încetinirea timpului?
4. Care dimensiuni ale corpului sînt numite longitudinale şi care transversale? Care din aceste dimensiuni sînt aceleaşi în diferite sisteme de referinţă inerţiale?
5. Lungimea unei tije în repaus este egală cu 25 cm. Ce lungime are tija în sistemul de referinţă, faţă de care ea se mişcă cu viteza u = 0,6 c, orientată de-a lungul său?
6. în sistemul de referinţă mobil, faţă de care se află în repaus, un romb are diagonalele egale cu 15 şi 9 cm. în ce direcţie şi cu ce viteză trebuie să se mişte rombul astfel ca pentru observatorul aflat în repaus acesta să reprezinte un pătrat?