TRANSFORMĂRILE LUI LORENTZ Şl CONSECINŢELE ACESTORA

19:12 0 Comments

a. Transformările Iul Lorentz
Rezultatele obţinute la tema precedentă permit a stabili relaţiile dintre coordonatele locului şi timpul unui eveniment (x, y, z, t) în sistemul de referinţă inerţial S, cunoscînd mărimile respective (x',yr, z\ t') ale aceluiaşi eveniment în sistemul inerţial S' (fig. 4.8). Sistemele S şi S' sînt definite: sistemul S' se mişcă faţă de sistemul inerţial S, considerat imobil, cu viteză constantă u, paralelă cu axa Ox, iar la momentul iniţial de timp originea lui O' coincide cu originea O.
Coordonatele y' şi z' sînt dimensiuni transversale, care, după cum s-a menţionat, sînt aceleaşi în ambele sisteme de referinţă, adică y = y'şiz= z'.
Segmentul 0'M2 în sistemul de referinţă S' are lungimea x'. Lungimea acestui segment în sistemul S are, potrivit formulei (4.10), valoarea egală cu x'^Jl-u2 Ic2. Astfel, după cum se vede din figura 4.8, pentru coordonata x putem scrie:
x — ut + x'\ll-u2 Ic2, (4.11)
de unde avem:
x' =
x-ut
i
'!c2
(4.12)
Această formulă permite a calcula coordonata x' în sistemul S', fiind cunoscută coordonata x şi timpul t în sistemul S.
Să obţinem relaţia inversă, adică expresia pentru coordonata x. Dacă considerăm sistemul S ’ imobil, atunci sistemul S se mişcă faţă de el cu viteza (-«). Coordonata x se obţine din formula (4.12), înlocuind mărimile x, t cu x', t', şi invers, precum şi schimbînd în opus semnul din faţa vitezei u. Obţinem:
x' + ut' ■\ll-u2 /c2
(4.13)
Fig. 4.8
75
Egalînd expresiile din partea dreaptă a formulelor (4.11) şi (4.13) pentru timpul t în sistemul imobil
S avem:
t +-
x u
■sjl-ll2 I C2
(4.14)
Totalizăm rezultatele obţinute:
x +ut
T = T> z = z, t =
t' + x'u / c2
.(4.15)
Vl-»2 Ic2 ' ' ‘ 4\-u2Ic2
Aceste relaţii au fost numite transformările lui Lorentz. Ele au fost deduse în anul 1904, înainte de publicarea lucrării lui Einstein, ca relaţii ce nu modifică ecuaţiile electrodinamicii la trecerea de la un sistem de referinţă inerţial la alt sistem inerţial.
Ecuaţiile fundamentale ale electrodinamicii (ecuaţiile lui Maxwell) sînt invariante faţă de transformările lui Lorentz.
Acest fapt este în conformitate cu primul postulat al lui Einstein. Din formulele (4.15) observăm că în teoria relativităţii restrînse spaţiul şi timpul nu sînt independente.
La viteze u mult mai mici decît viteza luminii în vid c, adică la u « c, termenii care conţin raportul u/c pot fi neglijaţi şi transformările lui Lorentz (4.15) trec în transformările lui Galilei (4.1). Astfel, a fost stabilită limita aplicabilităţii transformărilor lui Galilei, a conceptelor şi a legilor mecanicii clasice: viteze mult mai mici decît viteza luminii în vid.
Pe de altă parte, legea fundamentală a mecanicii clasice (newtoniene) este invariantă faţă de transformările lui Galilei (4.1), deci nu este invariantă faţă de transformările lui Lorentz. Rezultă că în domeniul relativist, cînd vitezele obiectelor devin comparabile cu viteza luminii în vid c, în mecanică sînt valabile alte legităţi, care la viteze v « c trec în legităţile mecanicii clasice.
b. Compunerea relativistă a vitezelor
Să stabilim relaţia dintre vitezele punctului material în raport cu cele două sisteme de referinţă
inerţiale, S şi S’. Vitezele se exprimă prin coordonatele şi timpul din sistemele respective. Astfel, în sistemele S şi S' proiecţiile vitezei pe axa Ox sînt
dx . , dx 1
vx = — si i> =----.
x dt ’ x dt’
Ţinînd cont de faptul că viteza u este constantă, din relaţiile (4.15) avem:
dx’ + u dt' , dt' + dx'-u/c2
dx-
dt — -
4\-u2tc- Vl-a2 /c2
Facem raportul respectiv:
dx __ dx' + u dt' dt dt' +dx' - u/c 2
(4.16)
împărţind numărătorul şi numitorul la dt' si dxr
avînd în vedere că — = v’, obţinem relaţia căutată: dt' ’
Vr =
vx+u
l + v' ■u/c2
(4.17)
Aceasta este legea relativistă a compunerii vitezelor.
în mod similar pot fi obţinute expresiile pentru
Vy Şi V,.
Să analizăm exemple concrete.
Fie în sistemul S ’ o rază de lumină se propagă în sensul pozitiv al axei O'x', adică viteza v ’ = c. Viteza de propagare a acestei raze de lumină în raport cu
sistemul S este: v, = —-—-—r- = c, ceea ce cores-
l+c-u/c2
punde principiului al doilea al lui Einstein.
Admitem că o particulă elementară se propagă faţă de sistemul S' cu viteza v'x = 0,9 c, iar viteza sistemului S’ în raport cu S este u = 0,8 c. Substituind aceste valori în legea (4.17), pentru viteza particulei în raport cu sistemul imobil S, obţinem vx = 0,988 c. înlocuind aceleaşi valori pentru v' şi u în legea clasică a compunerii vitezelor (4.3), avem v= v’+ u = 1,7 c, valoare ce depăşeşte viteza luminii în vid.
La viteze mult mai mici decît viteza luminii în vid u « c relaţiile relativiste trec în relaţiile mecanicii clasice. în acest caz din (4.17) obţinem v, = vx'+ u, adică legea clasică a compunerii vitezelor (4.3).
HBBB
1. Un eveniment s-a produs în sistemul mobil S' în punctul cu coordonatele x' = 3- 104m, y’ = 2- 104m, z' = 0 la momentul de timp t' = 7 • 10~5s. Viteza sistemului mobil faţă de sistemul fix S este egală cu 0,8 c, fiind orientată de-a lungul axei Ox. Determinaţi coordonatele evenimentului şi timpul cînd acesta s-a produs în sistemul 5.
2. Dintr-o navă cosmică, a cărei viteză este egală cu 0,6 c faţă de o staţiune radar, sînt lansaţi electroni cu viteza de 0,9 c faţă de navă, în direcţia vitezei acesteia. Să se calculeze viteza electronilor faţă de staţiunea radar după formulele: a) teoriei relativităţii restrînse; b) mecanicii clasice.